Теория и расчет оптико-электронных приборов - Якушенков Ю.Г.
ISBN 5-88439-035-1
Скачать (прямая ссылка):
A f
Рис.11.4. К выводу (11.16)
314 Глава 11. Фильтрация сигналов в оптико-электронных приборах
вую производную сигнальной функции i/c(?) для области ? = ?0 и пренебрегая членами второго порядка малости, получим
У (?)« Ve (P0) + A?j/"c (?0) + уш (?) = 0. (11.15)
Поскольку в точке ? = ?0 производная у' = 0, то из (11.15) следует,
что
I- y'm(?)
Дисперсия этой случайной величины
A? = -
-?2 =
у"М
(11.16)
P=P0
Воспользовавшись правилом Лейбница о дифференцировании по параметру под знаком интеграла, а также применив правило интегрирования по частям к (11.13) и (11.14), представим выражения для
У'ш(Р)и f"c(?)в виДе
-tou
^in (P)= Jn(a)A'(?-a)da;
(11.17)
"c(?) = J8(a)A"(p-a)da = 8(a)A-(p-a)|^- Js'(a)A'(?-a)da. (И.18)
У
Поскольку при бесконечных значениях аргумента а импульсная реакция A(? - а) и ее производная A'(? - а) равны нулю для физически осуществимых фильтров, выражение (11.18) примет вид
f"c(?) = _ Js'(a)A1 (?-а)da.
-ао
Подставив (11.17) и (11.19) в (11.16), получим
TW
Jn(a)A'(?-a)da
-f-OQ
-a)da
P=Po
(11.19)
(11.20)
315 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
Выражение (11.20) носит достаточно общий характер. В §15.3 оно будет использовано при расчете дисперсии погрешности измерения параметров детерминированного сигнала.
Задача определения частотной характеристики оптимального фильтра воспроизведения была решена рядом исследователей методами вариационного исчисления. В общем случае, когда случайные сигнал и помеха (шум) коррелированы, эта характеристика для оптимального (винеровского) фильтра определяется выражением
H(iva) = Wxy(oa)/Wx(«>a),
где (см. § 2.2.)
+оо
wxy{®a)= |Діу(Да)ехр(-/юаДа)?*(Да);
wx (юа) = Jjri (Да)ехр(- jaaAa)d(Aa);
Rxy(Да) = х(а)і/(а + Да); Rx(Да) = х(а)х(а +Да);
х(а) и г/(а) — смеси сигнала и помех на входе и выходе системы соответственно.
Определив корреляционные функции Rxy w.Rxw. соответствующие им энергетические спектры Wxy и Wx, можно найти в общем виде функцию H(Jaa).
В том случае, если сигнал и помеха статистически независимы и решается задача простого воспроизведения сигнала,
где Wc(COct) и Фш(гаа) — энергетические спектры сигнала и помехи соответственно, причем их можно определить через корреляционные функции сигнала Rc(Aa) и помехи Rm(Aa) из выражений:
+аз
|Дс(Да)ехр(-/юаДа)й(Да);
-ао +00
фшК)= Jtfin (Да) ехр(-./COa Да) d (Да).
-О)
Здесь
Д.(Да) = s(a)s(a + Да); Rm(Да) = n(a)n(a + Да);
316 Глава 11. Фильтрация сигналов в оптико-электронных приборах
s(a) и п(а) — сигнал и помеха.
Соответствующая (11.21) минимальная дисперсия
^ = (11-22)
Рис. 11.5. Структурная схема воспроизведения с оптимальным фильтром (ОФ) в случае одновременного действия искажения сигнала и помех
Иногда в качестве оптимальных фильтров воспроизведения используют фильтры с более сложной (по сравнению с (11.21)) частотной характеристикой. Так, если сигнал s(a) со спектром <S(coa) подвергается искажениям, которые могут быть описаны Фурье-оператором (спектром искажений) вида Un(Wa), и в системе (рис. 11.5) имеют место аддитивные шумы со спектром UJaa), то оптимальный фильтр воспроизведения, выполняющий восстановление искаженного сигнала sH(a), должен иметь частотную характеристику вида
ДштК) =
tf.W
Ig(COg)I2
Первый сомножитель l/UJaa) соответствует частотной характеристике инверсного фильтра, предназначенного для коррекции искажений сигнала. Второй сомножитель (в фигурных скобках) представляет собой частотную характеристику сглаживающего фильтра Нг(а)а) с бесконечной задержкой, обеспечивающего выделение скорректированного сигнала на фоне шумов, спектральная плотность мощности которых после инверсного фильтра равна | ?/ш(ю0) Р/1 UJaa) р. Из этого выражения следует, что при большом отношении сигнал/шум оптимальный фильтр приближается к инверсному.
317 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
11.4. Спектральная оптическая фильтрация
Спектральная оптическая фильтрация чаще всего состоит в выборе такого рабочего участка оптического спектра, для которого отношение сигнала от наблюдаемого излучателя к сигналу от помех на выходе приемника является наибольшим. Оптимальная спектральная фильтрация возможна только при одновременном учете спектральных характеристик излучателей и приемников, а также оптических сред, расположенных между ними.
Наиболее распространенным средством спектральной фильтрации являются оптические фильтры, поскольку спектральная избирательность других оптических элементов прибора, а также приемника, как правило, не удовлетворяет не только условию оптимизации (11.6), в котором в качестве аргумента следует брать оптическую частоту, но даже самым элементарным требованиям помехозащищенности. Поэтому и возникает необходимость ввести в состав прибора отдельный оптический элемент — фильтр.
Выбором спектральной характеристики оптического фильтра тф(А.) и границ его пропускания ХГ..Х2 обычно стремятся максимизировать полезный сигнал на выходе приемника излучения
