Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
Дифференцируя второе равенство (5-42) по какому-либо аргументу, например по времени, получаем:
*і'*і = хі'хі+УіУі + гі ' *'=0' (5-52)
где точками обозначены первые производные по времени. Второе дифференцирование по времени дает:
Vei+е/9U=хі + 'yi+*i + хі*і + +=°- (5_53)
§ 5-11. Кривошипно-шатунный механизм
В многоугольнике OABCO (рис. 5-42) следующие параметры являются постоянными: Z1, Z2, Z4» углы et3, ?3 и T3 наклона стержня 3, углы а4, ?4 и Y4 наклона стойки •/ (на рис. 5-42 не показаны). Для решения задачи все
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МЕХАНИЗМЫ 299
можно будет Определить НеИЗВеСТНОе Z3. ПОСЛе этого УГЛЫ GC2, ?o и
можно будет определить при помощи уравнения (5-54).
Решение задачи о скоростях производится дифференцированием по времени уравнений (5-54) и (5-55). В таком случае имеем:
^іеі + /2е2 = /зез. (5-56)
е2 • е2 = х2х\ + У2У2 + ^2I3=O. (5-57)
В уравнении (5-56) неизвестными являются величины е2 и Z3, из которых последняя представляет собой скорость ползуна. Для определения /"з скалярно умножим уравнение (5-56) на орт е2*
Имеем:
'іеі • е2+Z2e2 • е2 = Z3e3 • е2. (5-58)
Так как (рис. 5-42)
e^jcos?j + ksin?!, (5-59)
то, дифференцируя последнее равенство по времени, получаем:
ei = <•>!(— jsin?j + kcos?!). (5-60)
где (O1- заданная угловая скорость звена 1, которую мы в дальнейшем будем считать постоянной.
I1 • е2 = (—jsin?t + kcos?t) (U2 + Jy2 + k"2) ш1 =
= (—у2 sin ?l + zo cos ?i) CO1, (5-61) е3 • е2 = X8X2 + угу2 + z3zo. (5-62)
Величину /3 скорости ползуна теперь можно определить из следующего соотношения:
е3 • е2
после чего непосредственно из уравнения (5-56) определяется производная е2 орта е2. Проекции этой производной получаются после развер-
тывания этого, уравнения в уравнения проекций.
Для решения задачи об ускорениях дифференцируем уравнения (5-56) и (6-57) по времени. Имеем:
'іЄі + /2е2 = /3е3, (5-64)
е2 • е2 + е2 • е2 = .V2 + у2 + z2 + X2X2 + У2У2 + Z2Z2 = 0. (5-65)
Для решения (5-64) скалярно умножаем его на орт е2. В таком случае получаем:
Zi*ei • е2 — I2I2 . е2 = /3е3 . е2. (5-66)
Скалярные произведения ортов, входящих в (5-66), расшифровываются аналогично случаю задачи о скоростях.
Ускорение T3 ползуна на основании (5-64) получается следующим:
7, = Z1^iL-Z8JiIi»-. (5-67)
1 є3 - є2 є3 . єо
Проекции второй производной ё2 орта е2 можно определить после развертывания уравнения (5-64) в уравнения проекций.
Для определения закона движения шатуна 2 (рис. 5-42) как пространственного тела следует указать дополнительные данные, устанавливаемые шаровой с пальцем парой. На рис. 5-42 показан узел, образуе-
300
ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
мый шатуном 2со стержнем 3, входящими друг с другом в шаровую с пальцем пару.- Здесь палец и жестко связан с стержнем 3, а ось Cw, перпендикулярная к плоскости щели для пальца, жестко связана с шатуном 2. Ось и необходимо задать в системе звена 3, а ось Cw-в системе шатуна 2. Согласно рис. 5-42 стержень 3, соединенный со стойкой направляющей шпонкой, не имеет возможности вращаться вокруг собственной оси, вследствие чего палец и может совершать только прямолинейное поступательное движение.
Введем следующие обозначения косинусов углов: 1) между и и Oz косинус обозначим сцг; 2) между и и ОС обозначим сд3; 3) между w и и косинус равен нулю; 4) между w и ВС косинус обозначим сда2>
Руководствуясь равенством (5-45), можно написать:
что в развернутом виде можно представить так:
zu = cuz< xzxu+^yu + zizu = cur Ai+yl + z\ = \. (5-69) Из последних уравнений определяются величины хц, уи и zu проекции орта ец.
Для определения орта е^ можно воспользоваться следующими уравнениями:
' ew=l, (5-70)
которые развертываются в уравнения проекций аналогично предыдущим.
Теперь мы имеем возможность перейти к определению положения любой точки D (рис. 5-42), заданной в системе шатуна 2 длиной I2* отрезка BD и углами его наклона к осям ВС и w. Обозначая косинусы указанных углов через с2'2 и c2>w, для определения орта е..» воспользуемся следующими уравнениями:
Є2"Є2 = С2'2. Є2' • ew = C2'W Є2"Є2' = 1, (5-71)
которые решаются аналогично предыдущим.
Наконец, из уравнения замкнутости треугольника ABDA можно определить радиус-вектор точки и, устанавливающий ее положение.
Определение скорости и ускорения точки D производится последовательным дифференцированием по времени рассмотренных уравнений.
§ 5-12. Кривошипно-коромысловый механизм
Рис. 5-43. Постоянные параметры: I1, I2, /3, Ц, а4, ?4, 74, углы ахи $Х1, 7Aw наклона оси Ax1 вращения кривошипа 1 к осям координат системы Oxyz, углы а , ?^, 7 наклона оси вращения коромысла 3 к осям той же системы (здесь о^ = 0°, ?^ = 7^ = 90°). Переменные параметры: ?'t; а2, ?s, ^2 и ?3. Будем считать параметр ?j заданным. Неизвестными являются углы а2, ?2, 72 и угол ?3.
Для решения составим уравнение замкнутости многоугольника ABCDA'.
* 1Є1 + /2Є2 - *зе3 + /4є4 = 0. (5-72)
