Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
Подробное изложение рассмотренного метода см. в [6].
§ 5-4. Решение задачи о скоростях и ускорениях [1]
Задача о скоростях и ускорениях может быть решена при помощи уравнений, получаемых в результате дифференцирования по времени уравнений замкнутости многоугольников схемы механизма. Такое решение можно произвести либо графически, либо численным методом.
У
-К/
УС
904 x
/>,
V
/е"
282 ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
Дифференцирование по времени орта е. Представим орт е так (рис. 5-22):
e = i cos ср -f- J sin?. (5-7)
Первая производная по времени: de
= (— і sin <р -f- J cos <р) to = we', (5-8)
где to = •^-— угловая скорость орта е; е' —орт, полученный поворотом орта е на 90° в положительном направлении.
Вторая производная по времени: d*e
-^2 = (— І COS <р — j Sin <p) u)2 -j- (— і ЗІП <p +
-|- J COS ср) Є = 0)2e" -j- ее', (5-9)
где e" —орт, полученный поворотом орта є' в положительном направлении на 90° или та-
doy
ким же поворотом орта е на 180°; є = — —
угловое ускорение орта е. Рис 5-22. Примеры. 1. По заданным постоянным
и переменным параметрам схемы механизма (рис. 5-23, а), угловым скорости Co1 и ускорению E1 звена 1 определить законы движения всех ведомых звеньев. Уравнения замкнутости многоугольников abcda и dced:
hei + ^e2 = /4є4 + /3є3; /3є3 + ^e5 = /7*. (5-Ю)
В результате дифференцирования последних уравнений по времени получаем:
'icoiei -J- /2со2е2 = /Зо>зез, у в + vC? = VC> (5"1!)
^зез + /5^565 = і7і. VC +v ec=vef (5"12)
где to2, co3 и co5 — угловые скорости звеньев 2, 3 и 5; elf е2 и ез — орты линейных скоростей: Vg- точки в, Vqb~точки С относительно точки в, Wq — абсолютной скорости точки С; е'& — орт линейной скорости точки e
относительно точки С; i7 — скорость изменения длины вектора I7, определяющая скорость точки Е.
Графический метод решения поставленной задачи предусматривает построение плана скоростей (рис. 5-23, б). Решение следует вести в таком порядке: 1) определить величину ZiCo1 вектора Vg; 2) задаться масштабом \lv = м/сеК'ММ плана скоростей и определить длину отрезка pb, после чего произвести его построение; 3) в соответствии с направлениями ортов е'2 и e's провести прямые be и рс, пересечение которых
определяет точку с, устанавливающую положение концов векторов be и рс скоростей V?j3 и Wq ; 4) в соответствии с линиями действия ортов е^ и і провести прямые се и ре, точка е пересечения которых устанавливает ПОЛОЖеНИе КОНЦОВ веКТОрОВ СЄ и ре СКОрОСТеЙ VgQ и W?%
В численном методе для определения величины Co2 следует скалярно умножить уравнение (5-11) на орт є3, благодаря чему член в пра-
ПЛОСКИЕ МЕХАНИЗМЫ
283
вой части обратится в нуль, и мы получим линейное уравнение с одним неизвестным CO2. Величина со3 определяется скалярным умножением уравнения (5-И) на орт е2.
Рис. 5-23.
Для решения задачи об ускорениях дифференцируем по времени уравнения (5-11) и (5-12). Имеем:
Z1COJeJ' -f- /іЄіе[ -f- /2со2Є2 4- *2?2Єі = h<A*b + *3ЄЗЄЗ.
асв
+ а
t
CB
*CD
/з^зез 4- /зєзез + ho>i*b -f/6i
•с + ас + 4с + а'
1EC =ая' J
(5-13)
(5-14)
где орты ei, е2 и ез определяют направления векторов *?>Ji(j? иас~~ нормальных ускорений точки В, точки С относительно точки В и точки С в абсолютном движении: є2, є3 и є5 — угловые ускорения звеньев 2, 3 и 5; орты еА, е2 и е3 определяют линии действия векторов a.?, a.?? и — тангенциальных ускорений точки В, точки С относительно точки В и точки С в абсолютном движении; орты e's и і устанавливают направление вектора нормального ускорения и
линию действия абсолютного ускорения si?, орт е3 — линию действий вектора afgQ тангенциального ускорения точки E относительно точки С.
284
ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
Масштаб \у-а м/сек2 • мм плана ускорений (рис. 5-23, в) вычисляется в соответствии с величиной J1O)S и намечаемой длиной отрезка я/г^ После вычисления величин нормальных ускорений производится построение плана ускорений в соответствии с уравнениями (5-13) и (5-14).
В численном методе, руководствуясь теми же уравнениями, можно определить величины є2. єз» е5 и i7. Для определения е2 следует скалярно умножить уравнение (5-13) на орт е3, для е3 — на орт е«; для определения е5 и I7 надо последовательно произвести скалярное умножение уразнения (5-14) на орты J и є5.
Свойство подобия nAano? скоростей и ускорений и многоугольника звена. Многоугольники, образованные векторами, скоростей и ускорений в движении одних точек относительно других, подобны многоугольнику схемы звена и сходственно с ним расположены. Под сходственностью расположения подобных фигур подразумевается одноименная последовательность вершин при обходе периметров в одном и том же направлении. Свойство подобия используется при графическом определении скорости и ускорения любой точки звена по построенным планам скоростей и ускорений. На рис. 5-23 показано, как определяются скорость Vf и ускорение SLf точки F, принадлежащей звену 2. Здесь треугольники BFC и bfc подобны и сходственно расположены.