Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
ИЗГИБ
219
простых балок; а\ и Ь2 — координаты центров тяжести эпюр. Для балки на рис. 4-53 — дважды статически неопределимой — необходимо составить два уравне-
ния: левее заделки добавляется пролет длиной/о = 0; первое уравнение охватывает пролеты Iq и j1; второе —1\ и I2. Допустим EJ = = const и положим его равным 1. Для подсчета 2 построены эпюры M0 (рис. 4-53, а) в простых балках:
2j =-~/г13,5=54; O1 = bi =» Зм;
Q2 = 16; а2 = Ь2=2 м. 1-е уравнение (при M 1=0):
2M0 6 -f Mi 6 =
а=ЗГ/м
t t t t t ¦¦ Y T Y I.
= -6
54
' 6 '
3;
Рис. 4-53.
2-е уравнение (при M2 = — 1,5):
Mq 6 -f 2M1 10 -f M2 4 => - 6 . j . 3 - 6. j • 2.
Решение уравнений дает ^0 = - 9,81 Т»м; Mi = — 7,25 Г»«и. Эпюра M приведена на рис. 4-53,(?.
Метод деформаций иногда дает преимущества перед методом сил; каноническое уравнение для пролетов Z1 —12 имеет вид уравнения трех углов (рис. 4-52):
(4-179)
где погонная жесткость і равна EJ: I для промежуточных пролетов и QJbEJ: I для крайнего, если крайняя опора — шарнир; Zq, Zi и Z2 — углы поворотов на опорах 0, 1 и 2; M^ — начальные опорные моменты от заданной нагрузки в однопролетных балках (выделяемых из многопролетной), защемленных на промежуточных опорах (см. табл. 4-26); момент берут со знаком +» если нагрузка вращает узел / по ходу часовой стрелки. После определения Z находят моменты в заданной балке по формуле
Mi2--
ZqH + 2Z1 (Z1 + i2) + Z2I2 = - 0,5 (MJ0 + AfJ8),
¦Mo2+ 2i2 (2Zi+Z2).
(4-180)
Для балки на рис. 4-53 Z0 = 0; единственным неизвестным является угол Z1. Погонные жесткости (при EJ = 1): ii = -~ и i2 = -^-. Из
табл. 4-26 AlJ0 = —
Я1\
= -9; Mo2 =
qa*
16*
= 5,25. Уравнением для
опоры / будет:
¦ 0,5 (- 9 -f- 5,25),
откуда Z1 = 2,63,
220
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Определяя по (4-180) моменты, получаем эпюру на рис. 4-53, б. Способ расчета без решения канонических уравнений состоит в использовании общей формулы опорного момента, которая для произвольной опоры 1 пролета 1—2 имеет вид:
Мх% = Mo2 — Al1[x12 - M2 • 0,5[Ji2i. (4-181)
где M0 — начальные моменты, как и в методе деформаций (из табл. 4-26); (x — коэффициенты распределения неуравновешенных моментов:
jx12 = I18 : E1I; [x21 = I12 : S2I; (4-182)
AI1 и Al2- расчетные узловые моменты для опор / и 2, достаточно точные выражения для которых, а также для входящих в них коэффициентов а и р.' имеют вид:
^-10^01
-1
ж, - <i + .,)(i-ліЗЇ"+
Ml
-...]:
Al2 = (1 + «з) (1 •
кузл ¦
t Г Ко 1*А*
¦•1Ii)[AfO-AfO-^-I- ™«
стерж Dt1 = а10-Ьа12
з 2
а12 = л-»
4-[x121x21
стерж*
і
а1—12 :
(4-183)
(4-184)
(4-185)
[x1S = М-12 0 + а1-12); М-21 = М-21 0 + «2-12);
при этом AfO — начальные узловые моменты (A4? = Al12 -f- AfJo); коэффициенты а подсчитываются только для промежуточных пролетов балки,
(f=3T/M
Рис. 4-54.
a [x — для промежуточных узлов. в балке на рис. 4-53 а = 0, и расчет по формуле (4-111) элементарен; поскольку имеется лишь один промежуточный узел (/), по формуле (4-182) имеем:
=I: (т+Tl)=°'472; - IS! (т+її) - °-ш
Начальный узловой момент AlJ == AlJ0 + AlJ2 = — 9 -f- 5,25 = — 3,75 по (4-183) равен расчетному Al1, и поэтому по (4-181):
Af 12 = 6,25 — (- 3,75) . 0,528 = 7,25 Т-м. В трехпролетной балке (рис. 4-54) вычислим момент А12з при EJ =* const. На рис. 4-54, а дана эпюра начальных моментов Ж°, на
ИЗГИВ 221
M2 = 1,063 (l -^) (- 3,75) = - 3,5 Т-м; M1 =0 M2I = — 9 + 3,5 . 0,472 = - 7,36 T-м.
Таблица 4-26. Эпюры Q и M1 прогибы v балок
1. Защемленная концами балка с грузом посредине:
*—У
! _^<Т^_ К» "макс 192?/
2. То же с грузом в произвольной точке:
P Pb*(l + 2a) . ^ Pa* (/ + 26).
м
2PaW
U = а ЗЯ/(/ + 2а)2* 3. То же с равномерно распределенной нагрузкой:
4. То же при повороте левого защемления на ср = 1:
-Я Q (л:) = — 6i: /; M (X) = - 6 у *;
Л1А=4г, Мд = — 2L
рис. 4-54, б — величины fx, определенные по (4-182). Пользуясь (4-184) и (4-185), находим: О S . О 472
«12 = 4-0,5* (V^0'06* ^2 = 1.063 (1 -0)(- 3,75) = - 4; JH8 =0.
По (4-181) получаем: M23 = Л*28~ M2 • {A23 = 5,25 — (—4). 0,528 = 7,36 Т-м. При подсчете M21 надо пересчитать M2 по первой формуле (4-183):
0?\ 4 >
2:2 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
ff— ___--
12*
яд—і;
QW-f: М(х) = МА-Щх; МА=*Ы\1\ MB = — 6i:l.
6. Балка защемлена одним концом и свободно лежит на другом; на грузка силой Pi
(2/ + а). На--W '
M1 = Ra* ммакс~
<?1 = Яд;
Paft8 (2/ -f. а)
2/3
МВ---2?
7. То же с равномерно распределенной нагрузкой:
if ^
Г1максАШ9/ ; ^=--g-' = 0,0054оі4 "°макс BJ
М.
8. То же с сосредоточенным моментом на левом конце 'ОН
^=-/^=-,,5^;
QW-i1S^ ; M(X) = M0-^x; МА=М0; МВ=-^.
9. То же при смещении одного конца на v = 1: Ir- і »у. в
*д—*В—7*
_ . . Зі
і = EJ: I;
Зі
5. То же при смещении левого защемления на v = 1:
ИЗГИБ
