Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
°i = 9х + Oy + а2 = j1 + j3 + j3 = j0 = const; '
"ii - °х*у + V* + 9zQx - х2*У - 4* - xzx =
= Ji J2 + ^2j3 + азаі = const; \ (4-3)
° i ii = ° * V* + Ъху V ^ - ^ *уг - 'у Лх -— о хХу = j1j2j3 — const.
Здесь j0- так называемое объемное напряжение, a j1 > j2 > Z3 - главные напряжения, удовлетворяющие уравнению
(4-4)
152 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
a*-acp *ху ^хг 4=DU = \ V ^p >
xzx xzy ez-°cp
(4-11)
компоненты которого вызывают лишь изменение формы.
Если известен тензор (4-1) и требуется найти нормальное av и касательное xv напряжения на так называемой косой площадке, направляющие косинусы которой относительно осей х, у, z равны I, т и п (причем /2 _|_ /из _]_ n'j — ijt хо пользуются формулами:
= У2 + Sy"*2 + V2 + 2 (Tjty/,7Z + xyzmn + (4"12)
% = /р3-°Ї 1 (4-13)
V=V+V + V11 г (4-l5)
Направляющие косинусы первой главной площадки находят, решая (4-14) с любыми двумя из (4-15), подставляя
рх^*іЬ P^ = Oi"*; P2V = 5I^
Для плоской задачи, когда напряжения действуют лишь в плоскости хОу, во всех предыдущих формулах полагают:
а = т_ = т =0; л=*О
и октаэдрическое касательное напряжение токт = Tj= \ У (^i — оз)2 + (°2-*з)2 + (*i—*з)2 =
Интенсивностью напряжения а. называют приведенное (расчетное) напряжение, определенное теорией энергии изменения формы; его связывают с т. формулой
а.= -|^т (4-9)
1 /2 1
Тензор напряжения (4-1) может быть разложен на составляющие:
а) объемный (или шаровой) тензор:
( аср О
Гн=,° °'Р 0 • (4-Ю)
компоненты которого вызывают лишь изменение объема параллелепипеда;
б) тензор девиатор (скашивающий):
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НАПРЯЖЕНИЯХ И ДЕФОРМАЦИЯХ 153
(следовательно, 12-\-т2=\)', одно из трех главных напряжений равно также нулю (допустим, сг2 = 0); тогда из (4-4) находят
а1»з =
**Y
-к
ху
(4-16)
Отклонение 5I ='макс от оси х определяют углом а, причем 2-.
tg2a =--; tga =--ху-=
(4-16')
§ 4-2. Деформации
Деформация бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда (рис. 4-1) представляется шестью компонентами тензора:
0,5Т
1 0,5Т
ху
ух
0,5Тд; 0,5Т
0,5Т
гу
У2 z
(4-17)
в котором е — относительные линейные деформации (рис. 4-4, a), f — относительные сдвиги (рис. 4-4, б). Тензор (4-17), так же как и (4-1),
симметричен, поскольку т.
*У
*гу
Инварианты тензора деформаций строятся аналогично (4-3): •l—j + 'jr + V,
2
е" =8* % + еу гг + ez е* - °'25 <Т*У + Ty^ + Izx) =
= ?182 + 82?3 + •88IJ
¦Ш - W* + 0,25Т*У 7J* 7^ " 0,25 (+ 7^+
+ Є2 Тдгу)=81е288.
(4-18)
Здесь в — относительная объемная деформации, е1>е2>є8 — главные деформации, определяемые из
уравнения
63 -•«•! + •»ii — •ih-
:0. (4-19)
AdS
Грани куба, ребра которого ориентированы по направлениям е1» е2 и е3, не испытывают искажений углов (главный куб). Наибольшие сдвиги определяются формулами:
712 =
Т23 = е2_ е3;
•dar-а)
TiS = 8I
(4-20)
б)
Рис. 4-4.
и наблюдаются в площадках, по-
лучаемых поворотом двух из трех пар граней главного куба на ± 4о при сохранении третьей пары.
В направлении, нормальном к октаэдрической площадке, относительное октаэдрическое удлинение составляет
еокт в єср - 6O : 3 = (8I + 82 + Ч): 3, (4-21)
154 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
а сдвиг в ней — октаэдрический сдеиг — равен: 2_ 3
2 _
Т^ОКТ= Tf = у ^— є2)2 + (є2 — Єз)-' + (є1-єз)2 =
Интенсивностью деформации называют деформацию, пропорциональную 1-і
Тензор деформаций (4-17) может быть разложен на составляющие:
а) объемный (или шаровой) тензор:
і бср о о і
Гд= 1 0 ?ср О }> (4-24)
i 0 0 6cpj
оценивающий изотропную деформацию — равномерное изменение объема;
б) тензор девиатор (скашивающий):
(8*-?ср °Ьху °Ьхг i Tf=Од= { 0,%* •,-•ep >. (4-25)
l0'5^ zy e,-6cpJ
оценивающий изменение формы параллелепипеда.
(4-28)
§ 4-3. Закон Гука
Ограничимся изотропным упругим телом, обладающим двумя модулями упругости EnG (табл. 4-1), связанными между собой коэффициентом Пуассона р.:
?=20(1+ц). (4-26)
Простейшая форма записи обобщенного закона упругости (Гука):
1ху = хху-°\ 1y* = Zyz:°> hx=xzx'-°; <4"27>
X E ' У E
_ °г-М°х + °у)
или иначе, выражая напряжения через деформации:
т =Gy • т =Gt • т =Gy • (4-29)
•,-»(A'ep-Hx)-**+'-*; 1 (m
^=^0 + 2/716^; ^ = Xs0 + 2/716^ j
где e0 —объемная деформация, X и m — модули Лямэ:
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НАПРЯЖЕНИЯХ И ДЕФОРМАЦИЯХ 155 Таблица 4-1. Модули E и G {кГ/см-) и коэффициент Пуассона ц
Материалы
Е, Юв
O, 105
P-
Стальные канаты
1,9—2,2
7,8-8,2
0,25—0,35
Большие
1,3-1,8
_
значения:
Чугун (сжатие) . . .
0,8-1,2
2,9-4
0,18-0,25
Медь........
0,8—1,1*)
3,1-3,8
0,33
*)для красной меди;
1
3,6
0,36
0,9-1,2
3,2-4
0,32-0,4
0,65-0,75 **)
2,5—2,7
0,33
**) для дюралюминия;
Цинк катаный . . .
