Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
M0(S)=TXS= j (г X F) dt. (3-508)
t
Отсюда для суммы моментов внутренних мгновенных импульсов получается формула
2 (^X^)= J 2мо(р(,'))Лв0- (3-509)
a ^a
Следовательно, для изменения при ударе кинетического момента системы имеет место формула
L0 (/ + т) - L0 (t) = 2 (Га Х S*)] = 2М0 (Sif>}- (3~510) a a
Для осевых кинетических моментов при ударе имеет место формула
Lx (* + т) - Lx {t) = J) iS<f>). (3-511)
a
где Mx (S^) обозначает проекцию на ось л: момента мгновенного
внешнего импульса. Работа ударной силы в течение промежутка времени удара имеет конечную величину и выражается (формулой Кельвина:
д_(8. ?1±*±1<йу (3.5,2)
§ 3-117. Соударение точки с неподвижной гладкой поверхностью
Если точка ударяется о гладкую поверхность, имея до удара скорость V(Z) = V1, составляющую с нормалью к поверхности угол а, а после удара отходит от поверхности со скоростью V (t Ar V = V2, составляющей с нормалью угол ?, то мгновенный импульс S направлен по нормали к поверхности. Проекции скоростей V1 и V2 на касательную к поверхности равны между собой, а абсолютные величины их проекций на нормаль находятся в постоянном отношении, зависящем только от материала точки и поверхности: 1 va I
r^L=k. (3-513)
144 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
(3-517)
Этот коэффипиент к лежит в границах 0 < k < 1 и называется коэффициентом восстановления. Для некоторых материалов k или ничтожно мало, или очень близко к единице. В первом случае теоретически считают As=O и удар называется неупругим, во втором считают k=\ и удар называется вполне упругим. Углы а и ? удовлетворяют условию
Мгновенный импульс определяется через скорость vi до удара и угол падения а формулой
»S= mvi (1 -f- k) cos а, (3-515)
где т — масса точки.
§ 3-118. Прямое центральное соударение двух тел
Если два тела с массами т и т' движутся поступательно с параллельными скоростями V1 и VJ и в некоторый момент соприкасаются друг с другом в точке, лежащей на одной прямой с центрами тяжести С и С' тел, параллельной скоростям V1 и VJ, то такое соударение тел называется прямим центральным. В точке соприкосновения тел возникают ударные реакции и тела испытывают прямой центральный удар. Движение тел после удара остается поступательным, и скорости их V0 и V^ направлены по той же прямой, как до удара, но меняют свою-величину. Относительные скорости V2 — V2 и V1 — VJ подчинены закону Ньютона:
V2-V^-A(V1-VJ), (3-516)
где коэффициент восстановления k зависит только от материала тел я лежит в границах O^ A^ 1. Проекции v^t v'^, v^, v\ скоростей тел до и после удара на прямую CiC2. соединяющую центры тяжестей тел, связаны уравнениями:
{т — km1) V + m' (1 + k) v[
Vq =» -Ц-:--1 ,
т -f- тх (m' — km) v'{ + т (1 + k) V1 v2 ™* m -f- m' '
Мгновенный импульс S, приложенный к телу массы т, имеет алгебраическую величину
S-(I + *) -^-7 (V- V). (3-518)
т -f- т' t і
Так как внешних ударных сил при соударении тел нет, то скорость V^ центра инерции всей системы при ударе не меняется и определяется формулой
mWt 4- m'V' mV„ + m'V'
Vc —-Ц-=-2—-r-Z . (3-519)
m -+- m' m •f m*
Через ее проекцию с на прямую CiC2 скорости после удара выражаются формулами:
Vu шт. С -f k {С — •O1), I
+ ( <«2С>
УДАР
145
Для случая k = О, называемого абсолютно неупругим соударением, формулы получают вид:
V2 = V2 = Vc, (3-321)
т. е. после соударения тела движутся как одно твердое тело.
Для случая А» 1, называемого абсолютно упругим соударением, формулы получают вид:
{т — т') ул -f 2т'і>' (m' — т) v' -f- Imv. V2 —-г+—,-і- *, v' =--і—-і-. (3-522)
§ 3-119. Действие удара на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси
От удара, приложенного к телу, вращающемуся около неподвижной оси Оі02. резко изменяется угловая скорость тела и возникают ударные реакции в закрепленных точках оси. Изменение со2 — Ou1 алгебраического значения угловой скорости определяется через внешние Jданные мгновенные импульсы S^' формулой
п
toio. <»2 - - s м0і0% <si?Ь. <*ад»
л= і
Если ось вращения принять за ось г, координаты закрепленных точек Oi и O2 обозначить через Z1 и Z2 и приложить к телу в точке M (5, О, O) данный мгновенный импульс S, то мгновенные реактивные импульсы S1 и Sg, возникающие в закрепленных точках, определятся из уравнений:
- тус (CO8 - Cu1) ^Sx + S1x 4- S2x, тхс (^-^) = Sy + Sly + S2y,
0 = Sz + Slz + S22, } (3-524)
где Jp^, уQ — координаты центра тяжести тела, 1хг и / — произведения инерции. Отсюда следует, что мгновенные реактивные импульсы окажутся равными нулю, т. е. ось не испытает удара, при следующих условиях: данный мгновенный импульс S должен быть направлен перпендикулярно к оси вращения и перпендикулярно к плоскости, проведенной через ось вращения и центр тяжести тела; ось вращения должна быть главной осью инерции в точке пересечения ее с плоскостью, проведенной перпендикулярно к оси вращения через точку приложения данного мгновенного импульса S, и, наконец, положение точки приложения данного мгновенного импульса должно определяться расстоянием