Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
BVT
aq + cq=*Q((), (3-495)
а его решение (3-483) дается при начальных данных q0 и формулой
t
q*=qQ cos kt + sin kt + ^ J Q (S) sin k{t-i)di, (3-496) 0
где по-прежнему № = При начальных данных ^0 = J0=O и при Q (0) = 0 вынужденные колебания определяются формулой
t
* = ^Г ~ 7а~ JV(S)COSA(Z-S)(^. (3-497) ca ca о
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ 141
1
а0 •
Q (0 = J Oo + 2 Hs sin W + V- (3-500)
При а0 = 0, полагая —=- = Ae, получим решение уравнения (3-495) в а s
виде:
OO
q = q0 cos kt + sin kt - ^ k* _^2/?2 (sin cos *'+ J cos sin kt) +
s*p-
X)
h
+ IkT-
V-i sin {spt + 8 ), (3-501)
¦s*p
S=I
если k-^np (/1 = 1, 2, ...).
Последняя сумма представляет вынужденное колебание, являющееся наложением ряда гармонических колебаний. При k = пр имеет место резонанс я-го порядка, которому соответствует расходящееся колебание, определяемое формулой
В случае гармонической обобщенной силы Q = Я sin (pt + 5) формула (3-486) принимает при k rfcp вид:
q = qQ cos kt + Ц- sin kt---J^L—r- (sin 8 cos kt + cos 8 sin kt) +
k a (ft3 —pz) \ k '
Последний член представляет вынужденные гармонические колебания
с амплитудой Д=——-- . Если ? > р, то фаза этих колебаний
I a (k* — pi) I
pt + o совпадает с фазой вынуждающей силы Q. Если же k<p, то вынужденные колебания выражаются формулой
Q— А ein (/*• + « +«).
т. е. их фаза опережает фазу вынуждающей силы на «. В случае резонанса, т. е. при p = k, формула (3-486) заменяется следующей:
q = q0 cos kt + Ц- sin kt + [cos 5 sin kt — kt cos (kt + 8)]. (3-499)
Член — g~ * cos (ftt* -f 8) определяет так называемые расходящиеся вы-
нужденные колебания, потому что математически при больших значениях t он может сделаться сколь угодно большим, но физически это не означает, что при движении системы параметр q действительно получит эти значения, так как при значительном отклонении системы уже нельзя пользоваться приближенной формой уравнения Лагранжа. В случае, когда обобщенная сила Q(t) является периодической
функцией времени с периодом т==~- » она, вообще, может быть представлена тригонометрическим рядом вида:
142
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
Глава 3-13 УДАР
§ 3-116. Мгновенный импульс
Ударом называется кратковременное взаимодействие тел, вызывающее за ничтожно малый промежуток времени резкое изменение скоростей их точек. Сила, действующая в течение удара и имеющая столь большую величину, что ее импульс за ничтожно малый промежуток времени удара имеет конечную величину, называется ударной. Математическая теория удара состоит в том, что перемещениями точек в течение промежутка времени удара пренебрегают и импульс ударной силы рассматривают как вектор, приложенный к точке в том положении, которое она сохраняет в течение удара. Такой приложенный импульс называется мгновенным. Иногда вектор мгновенного импульса называется просто ударом, приложенным к точке. Если промежуток времени, в течение которого происходит удар, ограничен моментами t и / + т, где т ничтожно мало, то мгновенный импульс определяется через ударную силу F формулой
S= j F dt. (3-502)
t
Отсюда, обратно, средняя величина ударной силы определяется формулой
«3-503)
Если, кроме ударной силы, к точке приложены силы ограниченной величины, то ими при рассмотрении удара можно пренебрегать, и формула (3-232) для изменения количества движения точки при ударе примет вид:
mW у + z) - mV (t) = S. (3-504)
Оба вектора V(O и V(I + т) прикладываются в одной и той же геометрической точке, соответствующей положению материальной точки при ударе, и называются соответственно скоростью материальной точки до удара и после удара. Если имеется материальная система, то вообще' резкое изменение скорости одних точек должно сопровождаться резким же изменением скоростей других точек, т. е. все точки системы вообще испытывают одновременно удары. Ударные силы при этом могут быть как внешними, так и внутренними, и как данными, так и реакциями связей. Соответственно этому мгновенные импульсы могут быть внешними и внутренними, данными и реактивными. Согласно свойству внутренних сил сумма мгновенных внутренних импульсов всегда равна нулю, и формула (3-236) для изменения количества движения системы при ударе принимает вид:
Q (* + *)- Q (0 - ? , (3-505)
а
где обозначает внешний мгновенный импульс, приложенный к точке системы. Для изменения скорости V^ центра инерции системы при ударе имеем формулу
т\с (f + т) - т\с (t) = ? , (3-506)
УДАР
143
где т — масса системы. При отсутствии внешних ударных сил количество движения системы и скорость ее центра инерции при ударе не изменяются.
Так как радиус-вектор г точки в течение удара считается неизменным, то для изменения момента количества движения при ударе формула (3-504) дает:
г X mV it Ar •t) - г X mW (t) = г X S. (3-507)
Векторное произведение г X S называется моментом около начала радиуса-вектора мгновенного импульса, или моментом удара, и обозначается Mq (S). Через ударную силу F этот момент выражается формулой
