Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
0ki?i + аНЧ + • • - + %пЧ + + CR2<?2 + • • • + Ckffln = 0
(fe=i, 2,;.., л). (з-ш)
Следовательно, математическая теория свободных, т. е. при наличии только заданных сил поля, малых колебаний состоит в интегрировании и исследовании системы (3-444) однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
§ 3-111. Свободные малые колебания системы с одной степенью свободы
В случае одной степени свободы уравнения системы (3-376) принимают вид:
*а = *а(я), Уа=\Ю' 2U = 2CtM- <3"445)
Эти уравнения в то же время являются параметрическими уравнениями траекторий точек системы. Если равновесие имеет место при 0 = 0, то координаты точек в этом положении будут:
*а)==Ха^' У{а)==Уа^' s'a <3"446>
При малых колебаниях приближенные уравнения траектории будут:
2'a = 40) + *а <°) 9- (3-447)
Следовательно, малые колебания точек системы с одной степенью свободы приближенно являются прямолинейными и происходят по прямым L^, касательным к точным траекториям в равновесных положениях. Отклонение sa точки Аа от ее равновесного положения выражается формулой
sa = /<8(0) +Уа2(0) + г'а* (0) g. (3-448)
Следовательно, приближенная формула (3-441) для кинетической энергии получает вид:
а
Отсюда инерциальный коэффициент а системы выражается формулой
u " S m«K2 (0) +Уа (0) + *'* Щ- (W6(0
а
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ 133
(3-436)
для всех точек один и тот же, и вся система периодически возвращается в положение равновесия. Период -^- называется собственном
периодом системи» а Л — частотой собственных колебаний системы.
а
Она имеет физический смысл, а потому отношение — не зависит от выбора обобщенной координаты.
§ 3-112. Свободные малые колебания системы с двумя степенями свободы
В случае двух обобщенных координат qi и ?з формулы (3-441) и (3-443) принимают вид:
Д - Д (0, 0) 4-1 ( cnq\ -f 2cMiq% •+ c22ql).
Приближенная формула (3-442) для потенциальной энергии получает вид:
П«П(0) + ^!. (3-451)
Достаточным условием минимума П (0) будет неравенство Д" (0) >0, т. е. с^>0. Система (3-444) дифференциальных уравнений сводится к одному уравнению:
aq + cq — O. (3-462)
Его физический смысл состоит в том, что оно эквивалентно равенству —|- = const, или T -f- П = const, т. е. оно выражает закон сохранения механической анергии. Полагая
— А2, (3-453)
имеем уравнение q -f- ksq =*0. Его общее решение имеет вид:
0«Asin (to-H), (3-454)
где Л и б — произвольные постоянные. Отсюда для отклонения s получается формула
s =*h sin (kt •f 6), (3-455)
л л
где _
A«SA Vх'* (0) + У* (0) + ** (0)-
Следовательно, при малых колебаниях системы с одной степенью свободы ее точки приближенно совершают малые прямолинейные гармонические колебания с центром в равновесном положении; амплитуды А колебания различных точек различны, но фаза kt-\-b у всех точек одна и та же. Период колебания
134 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
= 0, J
(3-458)
O21^1 +а220з -f- C21^1 +C22^2 =
Причем 021 = ^12; C21 = C12.
Для их решения надо составить так называемое уравнение частоті
Ic11-A2O11 C12- №а12\ д(*2)= 11 11 w 12 =0. (3-459)
I с21 — fe2a21 C23 — fc2a32 j
Оно имеет два положительных корня и fcf, лежащих в границах:
O^ftf^^I, cJl<:kl^oo, (3-460)
ап «22
если — < -— . Если k\ ф kl , то каждому корню уравнения (3-460)
бц O22
соответствует свое колебание, называемое главным. При первом главном колебании обобщенные координаты ^1 и ^2 выражаются формулами:
(3-461)
<7І1,=СІ1) (с22 - *їа„) sin (M + Q1); 02і'--СІ1' (с12 - klau) sin (M + Oi),
.1
(3-462)
где Ci1' и O1 — произвольные постоянные.
При втором главном колебании аналогично
?І2, = С22) (с22 - ^a22) sin (M + Є2);
q<22)--C22' (c12 - ft|eia) sin (^ + Ї
Общее же решение уравнений (3-456) имеет вид:
?! = ffi"'+ ?iS'; «I = ?2U + Я?'- (3-463)
Траектории точек системы с двумя степенями свободы при малых колебаниях приближенно являются плоскими кривыми (так называемые фигуры Лиссажу).
Уравнение частот (3-459) имеет равные корни, если
?U = ?i2=?22> (3-464)
0Il а12 «22
Если общее значение отношений (3-464) обозначить через /г2, то это Л2 и будет двойным корнем уравнения частот (3-459). В этом случае общее решение системы (3-458) дается формулами:
Qi = C1 sin (kt+ G1); q2 = C2 sin (fct1+ Є2). (3-465)
Траектории точек системы приближенно являются эллипсами.
§ 3-113. Затухающие колебания системы с одной степенью свободы
Если к точкам системы, кроме сил F поля, приложены силы N сопротивления, пропорциональные скоростям точек, т, е. Я N =-П , (3-466)
Достаточным условием минимальности II (0, 0) служат неравенства:
сц>0, C22 > О, C11C22-C1I^O. (3-457)
Уравнения (3-444) принимают вид:
ОU Q 1 + ^12 5 2 + СЦ?1 + Cl2?2 =
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
135
то наличие этих сил сопротивления уменьшает отклонения точек, а потому движение системы после ее отклонения от положения устойчивого равновесия в поле сил останется малым колебанием, и кинетическая и потенциальная энергии приближенно будут выражаться форму-
