Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
= а., (3-435)
dq; '
где а. постоянны. Эти равенства называются циклическими интегралами уравнений Лагранжа. Они могут быть записаны в виде:
Pj =а;., (3-436)
т. е. циклические обобщенные импульсы остаются постоянными в течение всего движения. Например, при движении свободной точки в плоскости под действием центральной силы, величина которой зависит только от расстояния точки до центра силы, принимая за обобщенные координаты полярные координаты р и <р, будем иметь:
г = | (р2 + р2?ч п = /(р), !^!(рг + ра^-яр).
так что координата <р является циклической; циклический импульс
Py — тр2? и циклический интеграл (3-436) принимает вид: р2 •^j= const,
что согласно формуле (3-160) выражает постоянство секторной скорости относительно центра силы.
130
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
то полученная функция
H С; O1, ... , qn\ P1.....рп) =
= 2pa-m^i.....v *i.....яJ (3"437>
k — і
называется характеристической функцией Гамильтона. Если связи стационарны, то на основании формулы (3-433) функция Я выражает полную механическую энергию системы. С помощью характеристической функции систему (3-430) уравнений Лагранжа можно заменить системой 2п дифференциальных уравнений:
dt dpk ' dt ~ dqk
(A = 1,2.....n). (3-438)
Эти уравнения называются каноническими уравнениями движениі голономной системы под действием сил, имеющих обобщенную силовую функцию. В случае стационарных связей система (3-438) имеет интеграл
H (Qi.....Я„> Pi.....Pn)==h' (3-439)
выражающий закон сохранения механической энергии.
Глава 3-12 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
§ 3-109. Устойчивое равновесие
Положение покоя системы, подчиненной стационарным связям и находящейся под действием заданных сил, называется устойчивым равновесием, если в случае любого достаточно малого изменения ее положения и сообщения ее точкам любых достаточно малых скоростей она будет оставаться сколь угодно близкой к рассматриваемому положению все последующее время.
Пусть положение равновесия определяется нулевыми значениями обобщенных координат q^, а начальные значения обобщенных координат и обобщенных скоростей равны q^ и q^\ Положение равновесия устойчиво, если при наперед заданных положительных достаточно малых г и E1 можно указать такие зависящие от є и &і положительные числа т) и T]1, что при выполнении условий I q^ 1?^]^7)!
(k— 1, 2, ... , п) в течение всего последующего времени движения будут выполняться неравенства | q^ |<с е, | q^ \<Z^i (k= 1,2,..., п). Если система находится под действием заданных сил F , создающих обобщенную силовую функцию, и, следовательно, имеет потенциальную энергию 11(0!, ... , qn), то достаточное условие устойчивости равновесия дается теоремой JIeжен — Дирихле: если в положении равновесия системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво. Еслйг заданные силы F являются силами тяжести
Ct
точек системы, то потенциальная энергия достигает минимума, когда центр тяжести системы занимает наинизшее из возможных положений.
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ 131
OvOo
(3-442)
получим для потенциальной энергии приближенную формулу
1.....п
Л^ь .... ^)-П(0, ...,0) + 1 2??^ (3-443)
Для применения теоремы Дирихле существенно, чтобы потенциальная
энергия П (^1.....Qn) зависела от всех обобщенных координат
То движение, которое система совершает после достаточно малого отклонения от положения устойчивого равновесия и при достаточно малых начальных скоростях, называется малым колебанием системы около положения устойчивого равновесия.
§ 3-110. Приближенные выражения кинетической и потенциальной энергии при малых колебаниях
Если устойчивое положение равновесия получается при нулевых значениях обобщенных координат, то в формуле для кинетической
1,..., п
энергии при стационарных связях T= ^ &ь^Ч\> ••• » Qn} Qf?ij в ко"
эффициенты можно вставить вместо переменных аргументов q^ остающихся по абсолютной величине малыми, нулевые значения, и тогда, обозначив
V0.....0,=%. (3-"0)
получим для кинетической энергии приближенную формулу 1.....п
ft J
т. е. при малых колебаниях кинетическая энергия выражается однородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Формулу для потенциальной энергии ...» qn) можно разложить в ряд Маклорена, т. е.
п
п<»і.....v=n'0.....°>+ 2(??+
1.....п
/ дП.\
В положении равновесия і -з— i =0. Следовательно, обозначив \°9k/o
dm
132 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
Постоянные коэффициенты a^j в формуле (3-440) называются квазиинерционными, а коэффициенты c^j в формуле (3-443) — квазиупругими коэффициентами системы при ее малых колебаниях в данном силовом поле. Они зависят от выбора обобщенных координат.
Если, кроме сил поля, создающих потенциальную энергию П, к точкам системы, совершающей малые колебания около положения устойчивого равновесия, других данных сил не приложено, то на основании приближенных формул (3-441) и (3-442) уравнения Лагранжа (3-430) примут вид:
