Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
d / дТ\ дТ
*\Wj-*4=Q* (*~1,2п)- (3"425)
При этом обозначают обобщенные силы, вычисленные по формуле (3-383) через заданные силы F . Так как векторы Fa выражены через момент времени t, координаты точек системы и векторы скоростей точек приложения, то в конечном счете при помощи формул (3-376) и (3-411) обобщенные силы Q. представятся как некоторые функции
аргументов t\ qlt .. . , q ; qi, . .. , дд, т. е.
Qk-=Qk{t;qi.....qnl q\.....Яп). (3-426)
Так как левые части в формулах (3-425) представляют собой некоторые
выражения, зависящие от t\ q\.....qn; q\, . . . , qn; qi.....qn, то
система уравнений (3-425) математически представляет собой систему п дифференциальных уравнений второго порядка с одним независимым переменным t и искомыми функциями glt Q2, . . . , qn. Эти дифференциальные уравнения (3-425) называются уравнениями Лагранжа второго рода для движения голономной системы с п степенями свободы
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ 127
под действием заданных сил F . Если даны начальные положения и
а
начальные скорости точек системы, допускаемые наложенными на нее связями, то это значит, что для начального значения /0 времени даны
значения и q^ обобщенных координат и обобщенных скоростей, и тогда эти начальные данные определяют решения дифференциальных уравнений (3-425) и тем самым — движение системы, соответствующее начальным физическим условиям.
Если для заданных сил F существует обобщенная силовая функция
а dV
V (і; qi, . . . , q ), определяемая формулой (3-386), т. е. Qu = , то
уравнения Лагранжа (3-425) можно написать в виде:
? /J)T \ _ д(Т+ V)
dt
<dqkJ'
(k = 1, 2,
n).
(3-427)
Сумма Г+ T— П, где П обозначает согласно формуле (3-388) потенциальную энергию системы, называется лагранжевым, или кинетическим, потенциалом системы и обозначается
L = T — П. (3-428)
Математически П представляется как функция аргументов
'; яі.....V
потому что силы Fa, создающие обобщенную силовую функцию, зависят только от момента t и от положения точек системы, но не от их скорости; отсюда
(3-429)
Следовательно, формально уравнения (3-427) можно писать в виде:
d / dL\ dL
(3-430)
Пример. Составить уравнение Лагранжа для движения математического маятника длины I, точка С подвеса которого движется по
Рис. 3-72.
заданному закону по горизонтальной оси у. Пусть закон движения точки С дан формулой: ОС = / {t). Беря за обобщенную координату q угол, составляемый нитью маятника с вертикалью, получим (рис. 3-/2):
X = I cos q; у = / (t) -f- / sin q.
128 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
маятника в осях вводя переносную силу Ф Кориолиса. Так
Ф Л Cy и <?у = — mf" {t), то уравнение относительного движения
по формуле (3-206) будет:
mlq = — mg sin q — mf" (t) cos q,
т. e.
Q /" (*)
9 -f- у sin q = — y ^ cos ?7.
§ 3-106. Интеграл энергии
Если выражение потенциала L по формуле (3-429) не содержит явно аргумента t, т. е.
L = Hq1.....qn; qt----, qn), (3-431)
то уравнения Лагранжа (3-430) имеют первый интеграл в виде равенства:
V qh-L = h, (3-432)
k±\o4
где h обозначает постоянную величину, сохраняющую одно и то же значение в течение всего движения. Этот случай независимости кинетического потенциала явно от времени имеет место заведомо при стационарных связях. В этом случае кинетическая энергия T по формуле (3-421) является однородной формой относительно обобщенных скоростей q^, а потому
и формула (3-432) получает вид:
Г+Л = я, (3-433)
т. е. выражает закон сохранения полной механической энергии.
Отсюда:
= sin 0-5. Vy = f<{f)+I cos q. д\
T=™ [l*q* + 2//' (0 cos q.g + /•2 (,)],
-?- = /я/2 J + mlf (t) cos = — mlf {t) sin ? • ?.
Обобщенная сила
Q = /Я? Щ = — mg-/ sin Отсюда уравнение Лагранжа: /72/? -f- mlf" (t) cos q — mlf (t) sin ^ • t? + mlf {t) sin q • J ==m^/ sin <7, или
q + j-smq = - -7—^ cos ?. Это же уравнение получится, если рассмотреть относительное движе-
У
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ 129
§ 3-108. Канонические уравнения
Формулы (3-434), определяющие обобщенные импульсы на основании формул (3-421), представляют собой систему линейных уравнений относительно обобщенных скоростей q^, которые из этих уравнений
можно выразить через t, qif q$.....qn\ pit р$, ... , рп. Если втв
выражения вставить в формулу
S/а-1^ ?l.....V Яі.....Qn}.
R = i
5 Физико-технические справочник, том II
§ 3-107. Обобщенные импульсы
Производные от кинетического потенциала по обобщенным скоростям называются обобщенными импульсами и обозначаются р^. так что
Рь=~ -?1«= ^J- (k=\,2, ... , п). (3-434)
Если какая-нибудь обобщенная координата q не входит явно в выра-
ol
жение кинетического потенциала, т. е. 5— = 0, то эта обобщенная
Oq j
координата называется циклической, а соответствующий ей обобщенный импульс р,= —--циклическим. Для циклических обобщенных
координат g уравнения Лагранжа (3-430) дают равенства
