Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ
123
и с учетом начальных данных определяют Зл координат Х^У^2^ движущихся точек и s множителей Xy как функции времени. Если эта система уравнений проинтегрирована, то проекции реакции Rfe, приложенной к точке Аа системы, для данного момента времени определяются формулами:
/?ь = S Vx^.#b„=2 Хг^-. Яь = S X^. (3-408) ** у=1 І dxk9 ky .^1 j dyk kz jdzk
§ 3-102. Обобщенные скорости
Если голономная система задана уравнениями (3-375) г =г (*; O1.....а Л
или —в координатной форме — уравнениями (3-376) и находится в состоянии определенного движения, то обобщенные координаты Qi, Q2, .. • . Qn являются определенными функциями времени. Следовательно, рассматривая формулу для г как сложную функцию одного независимого пе-
" dr
ременного, для геометрической производной радиуса-вектора получим
выражение
dr дг JL дг dg.
Производные по времени от обобщенных координат точек движущейся голономной системы называются обобщенными скоростями и обозначаются 1 , т. е.
dg
Из формулы (3-410) для вектора Va реальной скорости точки движущейся системы получается выражение:
а для ее проекций:
дх * дх . ду iL ду .
dz * az
V — _* 4- V _а а
Vaz~ dt + .^1 dqk qk
(3-412)
124 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
І (3-413)
dz " dz
dz = -s?- dt+ У dqh.
a dt dqk lk
Эти формулы показывают, что, если даже выбрать виртуальные приращения Iq^ так, что Iq^ — dq^ все же, вообще, dx^ ф Ьх^, dy^ ф. oy^t dza -ф. bZy, т. е. реальные перемещения точек системы в течение бесконечно малого промежутка времени от данного момента / до бесконечно близкого ему t-\-dt не принадлежат к числу воображаемых, виртуальных перемещений, возможных в тот же момент Но если дх ду dz
связи стационарны, то = -~ = — 0, и тогда, выбирая Sq^ = dq получим: dx =Ьх , dy — by,dz =bz , т. е. в случае стационарных связей реальные бесконечно малые перемещения точек системы принадлежат к числу виртуальных. Отсюда следует, что виртуально совершенные связи окажутся и актуально совершенными при реальном движении системы, потому что для суммы элементарных реальных работ сил реакции в этом случае получим:
Y^dA (Rx) =2 (Ra) = 0.
В общем же случае реономных виртуально совершенных связей они актуально совершенными не будут, так как
?6Л (Ra)^?fiM (Ra)5&0.
§ 3-103. Кинетическая энергия в обобщенных скоростях
На основании формулы (3-411) кинетическая энергия точки системы выразится формулой
m„va т„ т /дг дг \ /дг дг . \
т \,^,п ,д? дг \ , ,
(3-414)
Отсюда для реальных бесконечно малых приращений dx^, dydz^ координат точек системы получаются формулы:
дх * дх ду JL ду
dxn--X^dt+ ? --Г-dqu. dy ? jr-a dqb.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ 125
T1 =
T2 =
к — 1
1.....я
і V
2
Если обозначить:
^ /дг дг \
? ma ы • -?)-в*(/; .... *„>• (з-4і9)
2 m« u: • of) ~ '4W ('; 9" ?2?«к 13-420)
7-1- S Bk(t; 4l, q,.....gn)gk,
k = 1
і 1.....п
Следовательно, формула (3-415) дает кинетическую энергию как сумму трех выражений T0, T1, T2, первое из которых зависит только от времени t и обобщенных координат, второе T1 представляет собой линейную форму относительно обобщенных скоростей qk с коэффициентами, зависящими от времени и обобщенных координат, а третье T2 — квадратичную форму относительно обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими от времени и обобщенных координат. В случае стационарных связей T0 = T1=Q, и формула для T получает вид:
. 1,...,л
T=T2 = J 2 Akjub 92.....Чіїччр (3"422)
k,j
т. е. в этом случае кинетическая энергия представ ляется в виде квадратичной формы относительно обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими только от обобщенных координат.
Следовательно, суммируя по всем точкам системы, получаем следующую формулу для се кинетической энергии:
T=T0Ar T1+T2, (3-415)
где
(иг-тії)- '"la
I1 (S-.(5-?))?-
S (У>т (--* Г°Л)я,Я-- (3-118)
126 ОБЩАЯ МЕХАНИКА
§ 3-104. Сумма виртуальных работ сил инерции
Если в формулу
2 M (Ф.) _ 2 ЬА (- mawa. _ S 8 А (_ a^sl) a a a N '
вставить вместо V ее выражение по формуле (3-411), то сумма виртуальных работ сил инерции представится через выражение для кинетической энергии по формуле (3-415) в виде;
. d / дТ\ дТ
При вычислении производной —ут-1 —— I выражение для —— надо
рассматривать как сложную функцию переменной /, зависящую от аргументов t; qi, ... , qn, q\, ... , qn, так что в эту формулу войдут еще производные q^ от обобщенных скоростей по времени, т. е. производные второго порядка от обобщенных координат по времени.
§ 3-105. Уравнения Лагранжа второго рода
Если формулу (3-423) для V] ЬА (Ф ) внести в общее уравнение a
(3-405) динамики, то оно примет вид:
^ Г дТ d ґ дТ\ 1
а затем, так же как общее уравнение (3-394) статики, распадется на п уравнений: