Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Яковлев К.П. -> "Краткий физико-технический справочник" -> 44

Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.

Яковлев К.П. Краткий физико-технический справочник: Справочник. Под редакцией Яковлева К.П — ФИЗМАТГИЗ, 1960. — 411 c.
Скачать (прямая ссылка): kratkiyslovar1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 136 >> Следующая


УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ

123

и с учетом начальных данных определяют Зл координат Х^У^2^ движущихся точек и s множителей Xy как функции времени. Если эта система уравнений проинтегрирована, то проекции реакции Rfe, приложенной к точке Аа системы, для данного момента времени определяются формулами:

/?ь = S Vx^.#b„=2 Хг^-. Яь = S X^. (3-408) ** у=1 І dxk9 ky .^1 j dyk kz jdzk

§ 3-102. Обобщенные скорости

Если голономная система задана уравнениями (3-375) г =г (*; O1.....а Л

или —в координатной форме — уравнениями (3-376) и находится в состоянии определенного движения, то обобщенные координаты Qi, Q2, .. • . Qn являются определенными функциями времени. Следовательно, рассматривая формулу для г как сложную функцию одного независимого пе-

" dr

ременного, для геометрической производной радиуса-вектора получим

выражение

dr дг JL дг dg.

Производные по времени от обобщенных координат точек движущейся голономной системы называются обобщенными скоростями и обозначаются 1 , т. е.

dg

Из формулы (3-410) для вектора Va реальной скорости точки движущейся системы получается выражение:

а для ее проекций:

дх * дх . ду iL ду .

dz * az

V — _* 4- V _а а

Vaz~ dt + .^1 dqk qk

(3-412)

124 ОБЩАЯ МЕХАНИКА

І (3-413)

dz " dz

dz = -s?- dt+ У dqh.

a dt dqk lk

Эти формулы показывают, что, если даже выбрать виртуальные приращения Iq^ так, что Iq^ — dq^ все же, вообще, dx^ ф Ьх^, dy^ ф. oy^t dza -ф. bZy, т. е. реальные перемещения точек системы в течение бесконечно малого промежутка времени от данного момента / до бесконечно близкого ему t-\-dt не принадлежат к числу воображаемых, виртуальных перемещений, возможных в тот же момент Но если дх ду dz

связи стационарны, то = -~ = — 0, и тогда, выбирая Sq^ = dq получим: dx =Ьх , dy — by,dz =bz , т. е. в случае стационарных связей реальные бесконечно малые перемещения точек системы принадлежат к числу виртуальных. Отсюда следует, что виртуально совершенные связи окажутся и актуально совершенными при реальном движении системы, потому что для суммы элементарных реальных работ сил реакции в этом случае получим:

Y^dA (Rx) =2 (Ra) = 0.

В общем же случае реономных виртуально совершенных связей они актуально совершенными не будут, так как

?6Л (Ra)^?fiM (Ra)5&0.

§ 3-103. Кинетическая энергия в обобщенных скоростях

На основании формулы (3-411) кинетическая энергия точки системы выразится формулой

m„va т„ т /дг дг \ /дг дг . \

т \,^,п ,д? дг \ , ,

(3-414)

Отсюда для реальных бесконечно малых приращений dx^, dydz^ координат точек системы получаются формулы:

дх * дх ду JL ду

dxn--X^dt+ ? --Г-dqu. dy ? jr-a dqb.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ 125

T1 =

T2 =

к — 1

1.....я

і V

2

Если обозначить:

^ /дг дг \

? ma ы • -?)-в*(/; .... *„>• (з-4і9)

2 m« u: • of) ~ '4W ('; 9" ?2?«к 13-420)

7-1- S Bk(t; 4l, q,.....gn)gk,

k = 1

і 1.....п

Следовательно, формула (3-415) дает кинетическую энергию как сумму трех выражений T0, T1, T2, первое из которых зависит только от времени t и обобщенных координат, второе T1 представляет собой линейную форму относительно обобщенных скоростей qk с коэффициентами, зависящими от времени и обобщенных координат, а третье T2 — квадратичную форму относительно обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими от времени и обобщенных координат. В случае стационарных связей T0 = T1=Q, и формула для T получает вид:

. 1,...,л

T=T2 = J 2 Akjub 92.....Чіїччр (3"422)

k,j

т. е. в этом случае кинетическая энергия представ ляется в виде квадратичной формы относительно обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими только от обобщенных координат.

Следовательно, суммируя по всем точкам системы, получаем следующую формулу для се кинетической энергии:

T=T0Ar T1+T2, (3-415)

где

(иг-тії)- '"la

I1 (S-.(5-?))?-

S (У>т (--* Г°Л)я,Я-- (3-118)

126 ОБЩАЯ МЕХАНИКА

§ 3-104. Сумма виртуальных работ сил инерции

Если в формулу

2 M (Ф.) _ 2 ЬА (- mawa. _ S 8 А (_ a^sl) a a a N '

вставить вместо V ее выражение по формуле (3-411), то сумма виртуальных работ сил инерции представится через выражение для кинетической энергии по формуле (3-415) в виде;

. d / дТ\ дТ

При вычислении производной —ут-1 —— I выражение для —— надо

рассматривать как сложную функцию переменной /, зависящую от аргументов t; qi, ... , qn, q\, ... , qn, так что в эту формулу войдут еще производные q^ от обобщенных скоростей по времени, т. е. производные второго порядка от обобщенных координат по времени.

§ 3-105. Уравнения Лагранжа второго рода

Если формулу (3-423) для V] ЬА (Ф ) внести в общее уравнение a

(3-405) динамики, то оно примет вид:

^ Г дТ d ґ дТ\ 1

а затем, так же как общее уравнение (3-394) статики, распадется на п уравнений:
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed