Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3-97. Уравнения равновесия голономной системы в обобщенных координатах
В обобщенных координатах qlt q2.....qn при Заданных силах Fa»
зависящих только от положения точек приложения, уравнение равновесия (3-389) системы принимает вид:
Qi $2. ... . Яп) 6^i + Qs (Яь Я2.....Яп) 8с72 + . ..
--- + On (91. Я2.....Яп) 5Яп = 0. (3-394)
Если система голономна, то приращения Sg1, 8^2.....^Qn совершенно произвольны, и уравнение (3-394) распадается на п уравнений:
Qk (Яь Я2,
.*я)-0
(A= 1,2,
, п), (3-395)
т. е. в положении равновесия голономной системы под действием заданных сил все обобщенные силы должны равняться нулю. Если существует обобщенная силовая функция V (Яі, Я2.....Яп), т. е. Qk =
dV
~~dq~* т0 УРавнения равновесия (3-395)
принимают вид: дУ дЯк"
(3-396)
т. е. совпадают с необходимыми условиями экстремума обобщенной силовой функции. Если, в частности, заданные силы Ра являются весами то-Рис. 3-71. чек системы, т. е. Pa = mag, то
обыкновенная силовая функция для случая, когда ось z направлена вертикально вверх, имеет вид: ц «в _ V P^0 = — PZq1 где Zq — координата центра тяжести системы.
НАЧАЛО Д'АЛАМБЕРА
119
Следовательно, уравнение равновесия dV = 0 принимает вид: dzQ = 0, а это означает, что у системы с совершенными связями в положении равновесия центр тяжести под действием сил тяжести должен занимать наинизшее или наивысшее положение. В этом состоит принцип Торричелли.
Пример. Однородные стержни AB и ВС веса P и длины 2а каждый скреплены шарниром В. Конец А закреплен в вертикальной плоскости неподвижным шарниром, а к концу С приложена горизонталь-р
ная сила -^. Определить углы а и ? при равновесии (рис. 3-71).
Система имеет две степени свободы. Обобщенными координатами служат qi = а и q2 = 3.
Для вычисления обобщенной силы Qi изменяем угол а, оставляя неизменным угол ?. Тогда стержень ВС перемещается поступательно и
п _ (Pi. UD) 5/ + (Ра, U?) 5* + (P3, U?) H
*=* — Pa sin а — P. 2а sin а -f- Pa sin а,
8а 8а
так как Ujy = а щ, (7^= 2<2 ^ . Для вычисления Q2 изменяем
угол ?, оставляя неизменным угол а. Тогда стержень AB остается неподвижным, а стержень ВС вращается вокруг шарнира В, и
(P8. иЕ) ц + (P3. цс)ц _ _ ра s.n ? + ра cos ?
Следовательно, уравнения равновесия Q1 = O и Q3 = O дают tg а = 1, tg ? = 1.
Глава 3-Ю
НАЧАЛО Д'АЛАМБЕРА § 3-98. Сила инерции
Если материальная частица массы m вследствие воздействия на нее некоторых тел получает по отношению к инерциальноЙ системе ускорение W, то по принципу равенства действия и противодействия сумма векторов сил, измеряющих действие движущейся частицы на тела, сообщающие ей ускорение, изображается вектором
Ф = _ ,WW. (3-397)
Этот вектор называется силой инерции движущейся точки. Сам по себе он является свободным, но если его приложить к самой движущейся частице, то его можно рассматривать как фиктивную, т. е. физически не существующую, силу, и тогда он называется д'Аламберовой силой инерции. Формально с вектором силы инерции можно производить все математические операции, какие производятся над векторами физических сил. Так, проекции силы инерции на оси основной инерциальноЙ системы отсчета выражаются формулами:
d2x d*v d*z
Если вектор Ф разложить на компоненты, направленные по главной
120
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
нормали и по касательной к траектории движущейся точки, то эти компоненты выразятся через ортып и т главной нормали и касательной формулами:
^ wo2 j_, dv
Ф„---Гп, Фт = -т-г. (3-399)
где 1O — алгебраическая скорость, ар—- радиус кривизны траектории. Первый компонент Фп направлен противоположно нормальному ускорению и называется нормальной д'Аламберовой силой инерции, второй Фт направлен противоположно касательному ускорению w и называется касательной д'Аламберовой силой инерции. Если точка подчинена связи и сила инерции имеет одним из своих компонентов давление точки на эту связь, то нормальный компонент силы инерции является одним из компонентов силы давления точки на связь и называется центробежной силой. Центробежная сила является реальной физической силой, приложенной к телу, осуществляющему наложенную на движущуюся точку связь.
Если движется твердое тело, то система д'Аламберовых фиктивных сил инерции его частиц формально подчиняется всем законам геометрической статики, относящимся к системе внешних сил, приложенных к твердому телу, т. е. приводится к главному вектору R и к главному моменту Mq. Главный вектор R сил инерции всегда выражается формулой
R = 2 фа = - 2] mctwa = - mwC' (З"400)
а а
где W? обозначает ускорение центра тяжести тела. Если тело вращается вокруг оси z с алгебраической угловой скоростью (о и алгебраическим угловым ускорением е, то проекции главного момента Mq
сил инерции около начала О выражаются формулами:
MOx=*Ixz- <°2Iyz> MOy^^yz + ^xz* мОг=*-*Ігг> (3-401)
где /_„ — момент инерции около оси вращения, / , / — произведе-Zz Xz yz
ния инерции. В случае равномерного вращения е=0 силы инерции
