Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
M(P^|,(P^)59ft =
Сумма виртуальных работ сил Ра, приложенных к точкам системы, выражается формулой
V ЬА (Pa, = S91 ? I «•.. ЬТ) + 2 ! Pa. + • - -
a a \ / a \ /
••• + ^я2(р«'57я). (S-382)
Сумма скалярных произведений векторов сил, приложенных к точкам системы, ыа частную производную радиуса-вектора точки приложения
lie
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
силы по одной и той же для всех точек системы обобщенной координате называется соответствующей обобщенной силой, созданной силами, приложенными к точкам системы.
Обобщенные силы Q1, Q2, . . . , Qn выражаются формулами:
vi / дга \ хл ( дха і п дуЛ дгЛ
Через обобщенные силы сумма виртуальных работ (3-383) приложенных сил выражается формулой
S ЬА (ра) = Qi^i + Qi*Qa + - - . + Qn*9n. (3-384) а
Если, в частности, для получения виртуального перемещения дать приращение только одной обобщенной координате, например положить Iq1 jtO, oq» = Sq3 = ... = bqn = 0, то для Q1 получится формула
2 5^i (р«)
т. е. обобщенная сила определяется как отношение суммы виртуальных работ сил, приложенных к точкам системы, при изменении только одной обобщенной координаты, к величине приращения этой координаты. Следовательно, размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты и выражается формулой [Q] = ^У.
Для тела, вращающегося около неподвижной оси 00', при выборе за обобщенную координату угла поворота тела, обобщенной силой является сумма моментов сил, приложенных к телу, около оси вращения 00'.
§ 3-94. Обобщенная силовая функция
Если силы Ра, приложенные к точкам системы, зависят только от момента времени t и положения точек, то обобщенные силы окажутся некоторыми функциями времени t и обобщенных коорцинат системы:
Qk = Qk Яь 9*.....Яп). (3-385)
Если при этом формула (3-384) для суммы виртуальных работ окажется полным дифференциалом относительно обобщенных координат некоторой функции V (t; qi, q%.....qn), зависящей, вообще, и от времени t, т. е.
Qi V; Яъ Яг.....Яп) *Яі + Q2 (*,* Я2.....Яп) ЬЯ2 + • • •
• -- + Qn V; ЯьЯз.....Яп) oqn = dV, (3-386)
то эта функция V называется обобщенной силовой функцией для системы сил Р. Из формулы (3-386) следует, что в случае существования обобщенной силовой функции обобщенные силы выражаются как
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
1П
частные производные от этой функции по соответствующим обобщенным координатам, т. е.
OV
Qk==bVk (3-387)
Если силы Ра для каждого момента имеют обыкновенную силовую функцию U, зависящую от t и координат точек приложения U = U (t; . . . ; Xd, уа, za, . . .), то обобщенная функция получается просто подстановкой в функцию U вместо координат ха, уа, za их выражений по формулам" (3-376) из уравнений системы. Если силы Ра не зависят от времени t и связи стационарны, то и обобщенная силовая функция будет выражаться только через обобщенные координаты git Q2.....дп* Но аналогии с потенциальной энергией функция
Jl = - V (3-388)
называется потенциальной энергией системи в данном силовом поле.
§ 3-95. Совершенные связи и начало возможных перемещений
Если сумма виртуальных работ реакций Ra связей при любых заданных силах Fa, приложенных к точкам системы, и при любом кинематическом состоянии системы оказывается равной нулю, то связи называются виртуально совершенными, короче, совершенными или идеальными. Если система с совершенными связями под действием заданных сил, зависящих только от положения точек приложения, находится в состоянии покоя, то сумма виртуальных работ этих сил при любом виртуальном перемещении системы из положения равновесия равна нулю. Обратно, если в некотором положении системы оказывается, что сумма виртуальных работ заданных сил при любом виртуальном перемещении системы из этого положения равна нулю, то система, помещенная в это положение, при начальных скоростях, равных нулю, останется в состоянии покоя. В этом состоит начало виртуальных скоростей, или начало возможных перемещений. Оно выражается формулами:
2^(Fa)=O (3-389)
a
или
2 (f..иа)=о. (М90)
a
где Ua — векторы виртуальных скоростей.
Аналитически в координатных осях уравнения (3-389) и (3-390) принимают вид:
S (Fa* 8*a + Fa3, *Уа + FaZ bza) = 0. (3-391)
а
Это уравнение называется общим уравнением аналитической системы. Оно должно выполняться для всех значений виртуальных приращений координат, удовлетворяющих уравнениям (3-373) и (3-374), накладываемым на эти приращения конечными и неинтегрируемыми уравнениями связей.
iis
Общая механика
§ 3-96. Множители Лагранжа
Если число точек системы равно п и все уравнения связей конечные, т. е. имеют вид:
// (Jfі. У і* <?i.....хп, уп, Zn)=O (/==1,2,..., s),
то уравнение (3-391) заменяется системой уравнений:
(3-392)
Ркх +
' дх
P + th^-Hkz+ A fdz.
(* = I, 2.....л),
(3-393)
которые вместе с уравнениями (3-392) образуют систему из Sn + S уравнений, определяющих Зп координат точек системы в положении равновесия и s множителей Яув
