Краткий физико-технический справочник - Яковлев К.П.
Скачать (прямая ссылка):
2, IW1 dfi dfi \
2^4 + ?/?^?=0 о-1-2.....*>• (3-373)
которые являются следствием уравнения (3-372). Если же на систему наложены, кроме геометрических, самостоятельные кинематические связи, то между виртуальными изменениями координат точек системы могут существовать уравнения вида:
a = 1
где коэффициенты а.^, b-, с^ являются функциями t и координат xv?v zv ••• • хп'Уп' ггї ри этом УРавнения (3-374) не являются следствием уравнений (3-372) и не могут быть заменены конечными уравнениями того же вида. В таком случае кинематические связи, наложенные на систему, называются неинтегрируемыми, а сама система — неголономной.
Если связи не изменяют своего геометрического и кинематического характера с течением времени, то они называются стационарными, или склерономными, а в обратном случае — нестационарными, или рео-номными. В случае стационарных связей уравнения (3-372) и (3-374) не содержат явно аргумента t.
§ 3-92. Обобщенные координаты системы
Во многих случаях радиусы-векторы точек системы на основании наложенных на нее геометрических связей можно для каждого момента і выразить через конечное число п независимых переменных qv д2.....Qn формулами вида:
r,=V: fv ч3.....?„>• іШЬ)
114
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
так что при любых значениях этих переменных получаются положения точек системы, допускаемые в соответствующий момент t связями. Эти независимые друг от друга величины qvq2.....qn, вполне и однозначно определяющие возможные положения системы в произвольно выбранный момент времени, называются обобщенными координатами системы, или независимыми параметрами Лагранжа. Формулы (3-375) и соответствующие им формулы для координат точек системы:
** = 2а«' *V*%Яя)
(3-376)
называются уравнениями системы.
Если выбрать определенные значения для обобщенных координат, а затем дать им бесконечно малые приращения Sq1, Sq2.....bqn, то получаются виртуальные изменения радиусов-векторов и координат точек системы, определяемые формулами:
Ьт
* дг * дх
я ду я дг
* kt\dqk 4 а k=\dqk k
> (3-377)
Если система голономная, то на приращения Iq^ обобщенных координат никаких ограничений не накладывается и их можно выбирать совершенно произвольно. Если же система неголономная, т. е. имеют место уравнения (3-374), то между приращениями bq^ обобщенных координат будут иметь место s уравнений вида:
.S)9
(3-378)
и притом таких, что их нельзя заменить конечными уравнениями вида 9y(fc Qi* ^2' * * • » QfIf ==^* Следовательно, в этом случае нельзя произвольно выбирать все п приращения bqv Sq2.....bqn обобщенных координат. Произвольными будут только n — s, а остальные 5 определятся из уравнений (3-378). Число независимых друг от друга приращений обобщенных координат системы называется числом ее степеней свободы. Для голономной системы число степеней свободы равно числу ее обобщенных координат, а для неголономной системы оно меньше на число неинтегрируемых уравнений (3-378) между приращениями обобщенных координат.
Примерами обобщенных координат служат: угол <р поворота тела, имеющего закрепленную ось; углы Эйлера ф, <р, 9 для тела, имеющего закрепленную точку; координаты х0, у0, Z0 полюса, произвольно выбранного в свободном теле, и углы Эйлера ф, <р, б осей, проведенных в теле через этот полюс, с осями, направленными через тот же полюс параллельно осям хуг основной системы отсчета. Во всех этих примерах тело представляет собой голономную систему соответственно с одной, тремя и шестью степенями свободы. Примером неголономной
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
115
системы является шар, принужденный катиться без скольжения по заданной неподвижной плоскости. Положение шара на плоскости определяется пятью независимыми параметрами: координатами xq, у^ его центра и углами Эйлера ф, <р, 6 осей, проведенных в шаре через его центр, с осями, проведенными через тот же центр параллельно осям xyz основной системы отсчета.
Условия качения без скольжения выражаются двумя неинтегри-руемыми уравнениями:
bxQ + R (cos ф sin 8 Sep — sin ф 88) = 0, 8_ус -f R (sin ф sin 8 8<р -f- cos ф 88)=0,
где R — радиус шара. Следовательно, число степеней свободы в рассматриваемом случае составляет 5 — 2 = 3.
§ 3-93. Виртуальные работы и обобщенные силы
Пусть к точкам Аа системы приложены какие-нибудь силы Ра. Если выбрать любые бесконечно малые виртуальные перемещения, определяемые виртуальными изменениями 8га радиусов-векторов точек системы или соответствующими виртуальными скоростями Ua, связанными с виртуальными изменениями радиусов-векторов формулой
Ua = -g^ , то скалярное произведение вектора силы Ра на вектор 8ra
виртуального перемещения точки приложения силы называется вар-туальной работой этой силы и обозначается
«Л (Pa) = (Ра, 8ra) = (Ра, Ua) 8/. (3-379)
Формально виртуальная работа обладает всеми свойствами элементарной работы dA. В частности, аналитически виртуальная работа выражается формулой
8 Л (Pa) = Рах Ьха + Рау Ьуа + раг bza. (3-380)
Если даны уравнения (3-375) системы в обобщенных координатах ^1, Чч> • • • » Qw т0 виртуальная работа выражается формулой
