Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Е= la I — 2|0|cos
(4.114)
d
<х> = 20 — sin %, h
(4.115)
dt
201
Здесь роль x(t) играют ф(х), а роль — величина кг = 2mE/h2, ?2 соот-вествует 2л jd. Из механики известно, что вблизи точек ш0 = лГ2/2 (и = ± 1, ±2, ±3, . . .), т.е. при к = tim/d, x(t) экспоненциально растет, т.е.
I ф(х) I -» оо при х ~* °°. Это явление известно в механике как параметрический резонанс. В механике x(t) реально остается конечным за счет нелинейных членов (энгармонизм), уравнение Шредингера строго линейно, и такие решения приходится отбрасывать, что и приводит к появлению запрещенных полос вблизи k = ± n-n/d.
§ 4.2. Общая теория движения электрона в трехмерном кристалле
4.2.1. Теорема Блоха
Потенциальная энергия электрона трехмерной бесконечной идеальной решетки обладает следующим главным свойством периодичности (см. 4.34)):
К (г+*,„) = V(r), (4.116)
где R„, — векторы трансляции (1.13). Свойство (4.116) не охватывает все свойства симметрии (например, точечную, см. п. 4.2.4), однако другие свойства будут привлекаться по мере надобности. В силу (4.116) V (г) можно разложить в ряд Фурье
У (г) = ? Vb> ехр (ib* г), (4.117)
g(s g
где ft* — векторы обратной решетки. Из вещественности К (г) следует
Уь; = У-ь;- (4.П8)
Уравнение (4.12) в трехмерном случае примет вид
Г h2 1
VкР^ (')= [ - — Д + У(г)\ Ф (Г) = Ь'Ф (г). (4.119)
Это дифференциальное уравнение в частных производных, и поэтому нельзя провести такой же анализ, как в одномерной задаче. Можно, однако, показать, используя теорию групп, что основные результаты п. 4.1.4 справедливы и здесь.
Покажем прежде всего, что волновые функции электрона и в трехмерном кристалле — плоские волны, модулированные в ’’ритм” решетки. Введем операторы трансляции T(Rm), определяемые равенствами
T(R,„)F(r) = F(r+Rm), (4.120)
где F (г) — произвольная функция координат. Эти операторы образуют абелеву группу трансляций Г, ибо они коммутируют друг с другом: T(R„)T(Rm) = T(Rm)T(Rn). Из (4.116) и вида гамильтониана (4.119) следует, что операторы трансляции коммутируют с ним:
[Г(Л„), 5Скр]_ =0. (4.121)
Л
Из (4.121) видно, что ф(г) - собственная функция 3fKp - может (хотя и. не должна) быть одновременно собственной функцией всех операторов 202
группы Г, т.е. (ср. (4.67))
T(Rm) Ф (г) = ф (г + Л,„) = X (Rm) ф (г), (4.122)
где X(R„1) — собственные значения оператора T(Rm). В силу свойства
T(Rm)T(Rn) = T(Rm +Л„) (4.123)
имеем
\{R„,)\(Rn) = \(Rm+Rn), (4.124)
или
In X (Л,„) + In X (Л„) = In X (Л,„ + Л„).
Единственным решением уравнения (4.124) является In X (Л,„) = ikRm,
где Л — произвольный (вообще говоря, комплексный) вектор, не зависящий от т. Поэтому второе равенство (4.122) можно записать в виде
ф (r+ Rm) = ехр (ikRm) ф (г). (4.125)
Так как I ф(г + R,„) I2 должно быть ограничено при !/?,„ I -*• °°, то ком-
поненты вектора к чисто вещественны. Равенство (4.125) выражает теорему Блоха (1928), определяющую самые общие свойства состояний электрона в кристалле.
Аналогично переходу от (4.77) к (4.78) можно, в силу (4.125), записать волновую функцию электрона в виде
Фк (г) = ехр (ikr) ик (г). (4.12 6)
По теореме Блоха (4.125) имеем
Фк (Г + Ят) = ехр [Л(г + Лт)] ик (r+Rm) =
= ехр (ikRm) ехр (ikr) ик (г), т.е. функция ик (г) удовлетворяет условиям периодичности
Uk (г + Rm) = ы* (г), (4.127)
как и потенциала в (4.126). Из (4.126) видно, что, как и в п. 4.1.4,волновая функция электрона — плоская волна, модулированная в ’’такт” решетки. Из (4.126) также следует невозможность локализовать электроны у узлов решетки, что является общим выводом, не связанным ни с какими частными предположениями.
Рассмотрим еще одно представление функции Фк (г). Используя векторы bg, разложим в ряд Фурье модулирующую функцию и* (г) по (1.21). Тогда для фк (г) по (4.126) имеем
Фк (г) = ? акь*ехр / (к + bg) г. (4.128)
g *
Выберем систему координат так, чтобы ее ортами были векторы обратной решетки (1.18), т.е.
к = к1Ь1 + к2Ь2 +к3Ь3 и ?,=Ал,-. (4.129)
203
Если слагающие вектора к удовлетворяют неравенствам —я < kjdj < я, /=1,2,3,
(4.130)
то любой другой вектор к можно представить в форме к + Ь*, так как, когда kj пробегает все значения интервала (4.130), a gt— все целые числа, компоненты вектора (к + />*),¦= к, + 2я; пробегают все возможные значения.
