Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Й'Г \х I Го = - 4 5' а’ - %") [Е (S'f) - Е (S"f)] • (4.105)
п
Квадратную скобку в (4.105) можно записать в виде
к tt'f) - Е (5"Г) = «' - Г) +
of
1 ,
...
Используя известные свойства 5-функции jc5' (дг) = — 5 (дг), х2&'(х)=0,.. получаем
, • „ d „
(SfUIS f) = T s (S’-*"),
n Э?
Фактор 5(?’ - ?") показывает, что в пределах одной зоны матрица опе-
ратора скорости диагональна, а искомое среднее значение скорости равно
d ЬЕ&П 1 Э?(А:,?)
-------— =------------------—-• (4.106)
h h ЭА:
Выражение (4.106) дает общую связь средней скорости электрона в цепочке с его энергией и представляет собой обобщение формулы де Бройля (4.3) для свободного электрона.
Вернемся теперь к рассмотрению спектра энергий. С помощью (4.106) можно доказать, что экстремумы f(E), т.е. точки, где df(E)jdE = 0, никогда не лежат во внутренней области на рис. 4.8. Но по (4.85) в области дозволенных решений
Ъ/(Е) 2 sin %
ЪЕ ЪЕ/ЪЬ
(4.107)
Выражение (4.107) равно нулю только в двух случаях:
Нели sin ? =0и ЪЕ\Ъ% Ф 0, экстремум будет при % = 0, я, т.е. будет лежать на одной из граничных прямых на рис. 4.8. Это случай свободной частицы, для ¦шектрона в цепочке он может осуществляться лишь при особом виде потенциала V(дг). Ниже для трехмерного случая (см. § 4.2) будет показано, что эта возможность практически не реализуется.
Если sin % Ф 0 и ЪЕ/Ъ% = °°, то это единственный случай, при котором экстремум функции f (Е) мог бы лежать во внутренней области рис. 4.8. Но это невыполнимо, ибо, по (4.106), ЪЕ/Ъ% пропорциональна средней скорости электрона, которая всегда конечна. Поскольку (4.107) не дает никаких других возможностей, то утверждение о нахождении экстремумов
198
/'(/О во внешней области рис. 4.8 доказано. Из этой теоремы снова строго вытекает, что спектр энергий электрона в цепочке имеет вид непрерывных полос, разделенных запрещенными полосами (щелями). Каждая полоса дозволенных энергий соответствует зоне состояний. Внутри каждой зоны энергия и другие динамические характеристики электрона меняются непрерывно, а на границах зон испытывают конечный разрыв.
Поскольку реальный кристалл конечен, то имеет смысл найти число состояний в зоне. Удобно поступить так же, как и в п. 4.1.3 (см. 4.49)), наложив на волновые функции электрона в цепочке условия периодичности
ф (х) = ф (х + Nd). (4.108)
Тогда, в силу (4.88), приходим к условию
? = 2як/TV, к =0. ± 1, ±2, . . . (4.109)
Поскольку внутри зоны ? удовлетворяет (4.87), то возможные значения к ограничены неравенствами
—Лг/2 < к < N/2, (4.110)
т.е. число состояний в зоне равно полному числу атомов Л' (см. (4.51)).
Можно выяснить, как меняется Е(?) внутри зоны. Так как энергия ? (?) есть четная функция ?, т.е.
?¦(«) = ?¦(-«), (4.111)
то достаточно выяснить вопрос о зависимости Е от ?, например, для интервала 0 < ? < я, внутри которого Е должна изменяться монотонно, ибо f (Е) — однозначная функция Е. (Формула (4.111) вытекает просто из того, что i//(?f; х) и Ф(~^', х) ~ комплексно сопряжены, независимо от условия V(х) = V(—х).) Очевидно, что в первой зоне,соответствующей наименьшим энергиям, Е с ростом ? растет, а в следующей зоне — убывает и т.д., по очереди. На границах зон производная ЪЕ/Ъ% равна нулю. Это видно из (4.107), ибо при ? = 0 или я величина Э/(Е)/дЕ Ф0,и тогда
ЪЕ/Ъ% = 0 при ? = 0 или ? = я. (4.112)
Кроме того, значениям ?=0, я соответствует всего лишь одна волновая функция. Покажем это, исходя из (4.12). Дифференцируя (4.12) по ?, получаем
Э2 Ъф 2т дф 2т ЪЕ
— — +—(?¦ - V) — = ——---------------------ф.
дх2 Э? h2 Э? h2 Э?
Отсюда видно, что если ЪЕ/Ъ% = 0, то Э(///Э?, наряду с w, гоже есть решение (4.12). Формула (4.88) показывает, что
Э(///Э? = ixd~1ф + ехр (tf-x/d) ди/д%, (4.113)
следовательно, Э(///Э? и (//линейно независимы. Таким образом,при/(Е) = = ± 2 функции ф и Э(///Э? образуют базис решений уравнения (4.12). Как-видно из (4.113), при х -*±«> функция Э(///Э? безгранично растет и поэтому не является дозволенной. Следовательно, при ? = 0 или ? = я функция ф из (4.88) является единственным дозволенным решением (4.12).
199
Рис. 4.9. Общий вид зонного энергетического спектра в одномерной модели в случае двух зон (?, и ?,).