Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
У dxu,(K';x)u(K"'l х) = 5гГ/2я, (4.95)
о
195
где 6f f" = 1 при J' = J" и 6f’f" = 0 при J' Ф J”. Тогда (4.94) примет вид 7 <Ьф' (ft'; х) ф (ГГ: дг)= 6 (*’ - Г) 6Г-Г». (4.96)
Общее выражение матричного элемента оператора координаты равно (? f 1-^ If ? )= / с1хф*(%’?’; х)хф (^"f”; дс).
— оо
Согласно (4.88), можно написать
(ST; jc) = -a-^-xfT; *) +
of
+ й ехр (/g"x/cf) — и (?”?"; д:) = (х, + *2) ^ (?"?дс). (4.97)
of
Ниже показано, что при умножении (4.97) на ф* дг) и интегрировании по <2дс оба члена в правой части дают выражения, отличные от нуля в двух различных случаях, поэтому их удобно рассматривать отдельно. Для первого члена имеем
«Г 1*1 I S"(") = id 7 dxф* ($Г; х)^~, ф (?"["; х).
— оо 0J-
Дифференцируя (4.96) по это выражение можно привести к виду
(*Г lx, ia")=idb' (*’ - Г) бгГ, (4.98)
где 6'(5) - производная 6 (5). Поэтому (4.98) отлично от нуля, лишь когда оба состояния лежат в одной зоне; если, кроме того, они бесконечно близки друг другу (т.е. ?' бесконечно близко к ?”), то (4.98) имеет сингулярность порядка производной 6-функции.
Вычислим вклад в матричный элемент х2 от второго члена (4.97). Поскольку функция (Э/Э?”) (?” ?”;дс) периодична по х с периодом d, то можно использовать все преобразования, проведенные при выводе (4.96). Это дает
(*r lialf"f") = 2ir«6(f,-f”)X
X / dx и* «Г; х) и (*'Г; х). (4.99)
о
Выражение (4.99) отлично от нуля только при ?’ = ?”, т.е. для состояний с одинаковым %. Покажем, что если V(x) четно, то даже при этом условии (4.99) отлично от нуля только при J' Ф J”, т.е. для состояний разных зон. Для этого продифференцируем (4.95) по ?:
fdxiu* (й’; дг) ^ и (й"; дг) +
о I Э?
+ и(й';*) “«*(«’;*)} = о.
of ^
196
Преобразуем второй интеграл, используя (4.90). Тогда получим
/ dxu№"\ х) ~ и* (?f'; .v)= / dxu* (?f"; х) — и (?f'; х)
о о
Подставив это в исходное равенство, находим
а
f dx [и* (tf"; х) — и (tf'; х) +
О ?
+ и* (?Г'; х) — и(й"; х)] =0. (4.100)
В частном случае, при f' = f" (4.100) примет вид
j а
/ и*(?Г; х) — u(tf\ x)dx = 0. (4.101)
о Э?
Такое выражение и стоит в (4.99) при f’ = f”.
Итак, для матричного элемента х между двумя состояниями в цепочке существуют жесткие правила отбора. Можно указать два случая, когда этот матричный элемент не равен нулю. В первом имеем два состояния с разными квазиимпульсами ?' Ф\” , но в одной зоне f. В этом случае имеем явную формулу (4.98), независимо от конкретного вида потенциала К(х). Во втором случае речь идет об элементах между состояниями с одинаковыми квазиимпульсами. При четной потенциальной энергии К(х) они отличны от нуля, если состояния принадлежат разным зонам (см. (4.99)). В противоположность предыдущему случаю явный вид элементов (4.99) зависит от функции u(?f; х), т.е. от вида потенциала V(x).
Полученный результат имеет значение для задачи влияния постоянного или низкочастотного электрического поля на электрон в решетке, ибо матричный элемент координаты связан с вероятностью перехода электрона из состояния f”B состояние вызванное полем (см. ниже).
Найдем теперь среднюю скорость электрона в состояниях (4.88). Воспользуемся общим уравнением движения для операторов:
х = -~(хЗС-ЗСх). (4.102)
h
Его можно переписать в матричной форме в представлении собственных функций 3С. Обозначим бегущий номер этих состояний через к. Пользуясь правилами умножения матриц, представим (4.102) в виде
(к' 1x1 к") = - — / dn'" [(к' 1x1 к'") X h
X (к'" IJC I к") - (к' I Jf I к'") (к'" Ix I к")]. (4.103)
Л
В принятом для ТС диагональном представлении находим
(к' 1x1 к") = —(к'1х 1к")[?(к")-?¦(«')]. (4.104)
fi
Л
Здесь Е(к) — собственные значения (энергии) оператораJC (гамильто-
197
ниана). Из (4.104) видно, что для оператора скорости существуют те же правила отбора, что и оператор координаты. Диагональный матричный элемент скорости, определяющий ее среднее значение, отличен от нуля, когда матричный элемент (к' I jc I к") обращается в бесконечность. Для определения средней скорости подставим в (4.104) точно известный матричный элемент координаты (4.98). Это дает
