Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Установим нумерацию волновых функций (4.78), пользуясь кривой /(/Г). Разобьем ее во внутренней области на ветви между соседними максимумами и минимумами; если эти экстремумы лежат во внешней области, то под ветвями будем понимать участки Д/Г) между точкой ее ’’входа” во внутреннюю область и ближайшей к ней точкой ’’выхода”. Каждой ветви соответствует определенная совокупность волновых функций, называемая зоной. Итак, стационарные состояния электрона в одномерной решетке распределяются на классы, образующие дискретную последовательность зон.
Каждой точке /(/Г) внутренней области отвечает пара функций (4.78), и ее можно определить номером зоны f и значением функции f(E). Для характеристики каждой из функций будем использовать величину ? из (4.76) или (4.86): ? = -i In X, = (In Х2 = arccos lAf(E). Например, первой из функций (4.78) можно приписать значение % = -(In X,, а второй —1= —(In Х2, различающиеся знаком. Тогда каждая волновая функция определяется номером зоны f и величиной ?. Однако, как видно из (4.76), % неоднозначно и определено с точностью до 2тгп (п — любое целое число). Для снятия неоднозна'шости в дальнейшем рассматривается ?, удовлетворяющее неравенству
-я<$<я. (4.87)
Такой выбор % (приведенная зона, см. ниже) не является единственно возможным. Существенно лишь, что ни один физический результат не должен меняться при замене ? на ? + 2тгп. Исключение представляет значение % = — я в (4.87), связанное с особыми условиями на границах зон (см. ниже). Иногда вместо ? будем пользоваться, как и в 4.1.2 или 4.1.3 и в гл. 2, величиной k = %]d.
Итак, полная система волновых функций электрона в бесконечной одномерной решетке с постоянной d имеет вид
ф (&f; х) = ехр (ikx) и (&f; х), (4.88)
и (к$\х + nd) = и (&f; х). (4.89)
Кроме того, имеют место соотношения
и (-&?; дг) = ы* (&f; jc) = и (kj;: х). (4.90)
Номер зоны пробегает бесконечный дискретный ряд целых чисел. Переменная к при каждом f пробегает непрерывный ряд значений, например, лежащих в области (4.87). Когда к = 0, я/J, то функции (4.78) становятся вещественными и вместо (4.90) будем иметь
1р{к?\х) = ф* (к?\ х) = ± ф (kj;; ~х), к - 0, я/с/. (4.91)
Физическое содержание формул (4.88) и (4.89) такое же, как и (4.78) и (4.79). В каждом стационарном состоянии электрон ’’размазан” по цепочке — плотность вероятности его местонахождения равна
P(*f; х) = | ф дг)|2 = |и (fcf; дг)|2, (4.92)
она имеет периоде/ и по (4.90) является четной функцией х.
194
Волновые функции (4.88) комплексны, кроме случая (4.91). Поэтому можно ожидать, что и среднее значение скорости электрона и связанная с ней плотность тока в цепочке отличны от нуля (см. ниже). Из периодичности (4.89) следует, что обе эти величины одинаковы во всех ячейках цепочки. Поэтому можно сказать, что электрон распространяется через всю иде&1ьную цепочку без рассеяния. Исключения из этого правила можно ожидать для состояний (4.91) с к = 0, я/с/, когда функция вещественна и средний ток равен нулю. В остальных случаях зонный электрон весьма напоминает свободный. Так, изменение знака к меняет знак скорости и тока. Поэтому смысл вырождения в цепочке, как и в случае свободной частицы, заключается в том, что электрон, движущийся в одном направлении, обладает той же энергией, что и движущийся с той же скоростью в обратном направлении.
Найдем теперь связь между средней скоростью и энергией электрона. Для этого надо вычислить матричный элемент оператора координаты. Установим сперва условия ортогональности и нормировки функций (4.88). С этой целью подставим их в интеграл
s = йхф* (*'?'; *) Ф (*"?": *)•
Используя условия (4.89), получим
S = lim Z ехр i (?" — ?’) / f dx X с —~ i=-g о
X ехр [i (?" - ?') x/d\ и* (?'?'; л) и (?"?"'. л).
Здесь интеграл по цепочке разбит на сумму по ее ячейкам. В силу (4.89) эти интегралы зависят от / только через ехр / (? — % ) /. Суммирование по / сводится к геометрической прогрессии, что дает
? ехр i (%" - S') 1= -2/ { sin (*' - Г) С/[ехр i - 11 } =
/= С
= 2 [sin (?' - ?") С/(Г - Г) 1 • {' (?" - *')/1ехр !‘(Г- *') - 11} •
Используя тождество
lim (sin G?/?) = л5(?), (4.93)
С-оо
в итоге получаем
5= 2я5 а' - $") f dx и * tf$'\x)u х). (4.94)
о
Из условия ортогональности для непрерывного ряда собственных значений видно, что фактор 5(?' — ?”) гарантирует их удовлетворение при всех ?' Ф%". Остается исследовать случай ?'=?"и 5'Ф$". Тогда из рис. 4.8 видно, что первое и второе состояния наверняка отвечают различным энергиям, и, исходя из общих положений квантовой механики, можно утверждать, что при ?' Ф ?" обратится в нуль и второй множитель в (4.94)
