Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вонсовский С.В. -> "Квантовая физика твердого тела." -> 93

Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.

Вонсовский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика твердого тела. — М.: Наука, 1983. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): vonsovskiykvantovayafizika1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 164 >> Следующая


Х,Ха=1. (4.75)

Если корни комплексно сопряженные, то из (4.75) следует IX! Р = IХ212 =

= 1, и можно положить

X, - Х2=е (4.76)

где ? - вещественно. Без ограничения общности можно считать, что 0 <

<? <7Г. Формула (4.67) в этом случае дает

Ф1 (x+d) = e'i\]/l(x), ф2 (x + d) = е ,(ф2 (х). (4.77)

Введем функции ut 2 (х) = i^li2(x)exp (+i%x/d), тогда ы(х) периодична с периодомd и

Ф i ,2 (*) = ехр (± /?х) ы, ,2 (х), (4.78)

где

u1.2(x + nd) = u1'2(x), u2(x) = ui( x) = Ui (х). (4.79)

Итак, если энергии Е соответствуют комплексно сопряженные Xj, Х2, то решения (4.78) физически допустимы: это плоские волны, модулированные в ’’такт” периода цепочки. Если же Х^ \2 вещественны, то (4.12) не имеет дозволенных решений, ибо, как легко показать, они расходятся при х -> ±°°; действительно,

Xi,2=±e±f, i//i,2(x) = ±e±tJCulj2(x). uli2(x+n'i) = ult2(x). (4.80)

В случае кратных корней Xi = Х2 из (4.75) имеем

X = X”1, X = ± 1, (4.81)

и каждому Е соответствует одно решение типа (4.67) (с X = +1, либо —1), удовлетворяющее условию

ф(х)=±ф(~х). (4.82)

Для большей наглядности введем вспомогательную величину

/(?) = Х,+Ха. (4.83)

Из (4.76) для первого типа решений находим

/(?¦) = 2 cos ?, (4.84)

т.е. \f(E) I < 2. Для второго типа

f(E) = ± 2 ch ?, (4.85)

так что I f(E) I > 2. Наконец, третий тип решений получается из второго при ? = 0, тг, т.е. соответствует \f(E) I = 2. Поэтому, если Е такова, что \f(E)\ < 2, то существует два линейно независимых комплексно сопряженных решения (4.12), даваемые формулами (4.76) - (4.79). Всякое третье решение можно представить их линейной комбинацией. Если энергия Е такова, что \f(E) I > 2, то существуют два линейно независимых вещественных решения (4.12), определяемые из (4.80), которые, однако, надо отбросить как ненормируемые. Наконец, если \f(E) I = 2, то имеется одно решение со свойствами (4.82) .

192
Рис. 4.8. Функция /(Е) из (4.83).

Итак, структура спектра энергий цепочки полностью определяется видом функции /(?) ; ее график дан на рис. 4.8 (см. также рис. 4.2, а, б). Будем называть область между прямыми, параллельными оси абсцисс при /(?) = ± 2,внутренней областью, а остальную часть - внешней. Всякое Е, для которого f (Е) лежит во внешней области, является запрещенным, а Е, для которого /(Е) лежит во внутренней (интервалы Е2 — Ех ,Е^ —Е3, Е6 - Еs и Е% - Е7), является разрешенным и двукратно вырожденным значением энергии; наконец, Е, для которого f(E) лежит на границе областей (при f(E) = ±2), соответствует особому случаю (см. ниже). Из рис. 4.8 видно, что он осуществляется для дискретных значений Е.

Для нахождения спектра энергий рассмотрим два предельных случая. Случай очень больших по абсолютной величине и отрицательных энергий, когда (4.12) при конечных V(x) примет вид

сI21b

—- - к2ф =0, к2 = -2тЕ/Ъ2. (4.86)

dx

Решениями (4.86) будут Ф\,2(х) = е±кх. Сравнивая их с (4.81), видим, что большие отрицательные Е с некоторого момента наверняка делаются недозволенными. Из (4.85) видно, что при этом f(E) = 2 ch kd -»¦ + °° ибо к -* °° при Е -* - °°. Таким образом, крайняя левая ветвь f(E) имеет вид, изображенный на рис. 4.8.

Если Е > 0 и очень велика, то 2mE/h1 = к1 и к -*-°°, а волновые функции имеют вид плоских волн: (х) = е'кх, ф2(х) = е~'кх. Поэтому при

Е-* + 00 рано или поздно наверняка попадаем в область дозволенных решений, в пределе обращающихся в плоские волны свободного электрона. Это понятно, ибо при Е > I У(х) I неоднородности У(х) перестают влиять на движение электрона. Таким образом, переходя к правому краю рис. 4.8, кривая /(?) = 2 cos kd становится периодической, находясь целиком во внутренней области, лишь в экстремальных точках касаясь граничных прямых. В промежуточной области конечных Е f(E) всегда конечна, ибо из (4.85) видно, что при f (Е) и { “ и обе функции (4.80) обра-

щались бы в бесконечность во всем полупространстве, чего не может быть. Следовательно, повсюду, кроме случая Е кривая/^) нигде не

уходит в бесконечность и регулярна. Рис. 4.8 передает схематически осциллирующий ход кривой /(Е) (см. также рис. 4.2), из него следует, что спектр электрона в одномерной цепочке состоит из непрерывных полос дозволенных энергий (жирные участки оси Е на рис. 4.8), разделен-13. Зак.768 193
ных запрещенными энергетическими щелями (тонкие участки оси I:), что аналогично результагу модельных задач 4.1.2 и 4.1.3.
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed