Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вонсовский С.В. -> "Квантовая физика твердого тела." -> 92

Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.

Вонсовский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика твердого тела. — М.: Наука, 1983. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): vonsovskiykvantovayafizika1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 164 >> Следующая


В отличие от задач п. 4.1.2 и 4.1.3, не будем делать предположений о виде потенциала V (л ), кроме учета периодичности (4.34) и других допущений общего характера. Тем самым установим свойства электрона в цепочке, непосредственно вытекающие из ее периодичности. Будем исходить из уравнения (4.12); оно относится к дифференциальным уравнениям типа Хилла. Не решая его явно, проведем анализ, который позволит выяснить основное в поведении электрона в одномерной цепочке с периодом d.

Из периодичности потенциала (4.34) следует, что если ф (х) есть какое-то решение (4.12) при энергии Е, то ф (х +d) — также решение (4.12) с той же энергией. Этот вывод — центральный пункт теории — является математическим выражением того, что электрон в периодической цепочке не имеет стационарных состояний с локализацией вблизи одного атома. Если допустить, что существует какое-нибудь одно стационарное состояние такого типа, то, согласно сказанному, при том же Е должно существовать бесчисленное множество других стационарных состояний с локализацией у других атомов. Но это математически невозможно, ибо (4.12) при данном Е имеет самое большее два линейно независимых решения. Таким образом, волновая природа электрона исключает его локализацию у узлов цепочки, и свобода его передвижения не является свойством специальных (см. п. 4.1.2 и 4.1.3) потенциалов, а есть общее следствие их периодичности. Поскольку (4.12) — линейное дифференциальное уравнение второго порядка в полных производных, то любое его решение можно представить линейной комбинацией двух базисных решений Фх (х) и ф2 (*) при данном Е. Они линейно независимы, т.е. между ними не существует соотношения типа ji ф\ (х) + + у2 ф2 (х) = 0, где 7i и у2 - отличные от нуля постоянные. Это одномерная задача двукратно вырождена.

Сопоставим эту общую теорему с основным свойством решений уравнения (4.12), что ф1 (х +d)n ф2 (.г +d) - также его решения при том жеЕ, т.е. их можно представить в виде

ф 1 (х +d) = ctu\lsi (х) + а12ф2 (х) и (4.66)

ф2 (х +d) = a21 ф1 (х) + а22ф2 (х).

Значения коэффициентов а[к, вообще говоря, зависят от выбора базиса ф j (*) и ф2 (х). Его всегда можно выбрать так, чтобы матрица otik была диагональной. Тогда при замене х на х + d функции базиса умножаются на некоторый множитель

ф (х +d) = Хф (х), (4.67)

где Л — одно из двух собственных значений матрицы otik (она должна быть унитарной, т.е. сохраняющей нормировку ф (х), а следовательно,

190
диагонализуемой). По указанному основному свойству можно написать Ф(х) = 0ф1 (х) + уф2 (х) (4.68)

и свести этим поиски ф к поискам соответствующих ему /3 и 7. Подставляя (4.68) в (4.67) и пользуясь (4.66), получаем для/3 и 7 систему двух линейных однородных уравнений

(ал 1 - Х)/3+а12 7 = 0, (*21 /3 + (а22 - X) 7 = 0. (4.69)

Они имеют ненулевые решения, если определитель системы равен нулю:

~ (ai 1 + “22) ^ + ai 1 а2 2 - atl2a21 =0. (4.70)

Поскольку все коэффициенты (4.12) вещественны, то функции ф1. ф2 и числа aik в (4.66) можно выбрать вещественными. Так как след матрицы а;к и ее определитель не меняются при переходе к новому (вообще говоря, комплексному) базису, тоац + а22 и а,, а22 -ai2 а21 должны быть вещественными. Тогда (4.70) — квадратное уравнение с вещественными коэффициентами для X. Рассмотрим три случая: уравнение (4.70) имеет два вещественных различных корня X, иХ2. Подставляя последовательно их в (4.69), находим две системы коэффициентов /3 и у и две вещественные функции удовлетворяющие условию (4.67). При Xt Ф Х2 эти функции линейно независимы, поэтому они могут быть базисом уравнения (4.12). Уравнение (4.70) имеет два комплексно сопряженных корня

V = Х2 . (4.71)

Соответствующие функции тоже комплексно сопряженные

ф*1(х)=ф2(х). (4.72)

Относительно них можно повторить то же, что и в первом случае.

Уравнение (4.70) имеет один вещественный корень X. В этом случае существует одно вещественное решение, удовлетворяющее (4.67). Поэтому, если (4.70) имеет кратный корень, то свойства всех решений (4.12), как правило, не могут быть описаны функциями (4.67), хотя одна такая функция среди этих решений наверняка есть.

Описанные свойства решений (4.12) целиком определяются значением параметра Е. Определим вид корней (4.70). Продифференцируем (4.66) по х:

ф\(х + с1) = а11ф'1(х)+а1гф'г(х), ф2(х + d) = с*21 ф\(х) + с*2 2Ф2(X) ¦

Из (4.66) и (4.73) получаем

(4.73)

ф^х+d) ф2(x+d) ФЛх) Фг(х) «11 «12
Ф'l(x + d) ф'2(х + d) Ф\(х) Ф'2(х) tt21 а22
Производная вронскиана = 0, откуда следует

Ф1 Ф2 Ф\ Фг

пох, в силу (4.12), равна ф1 ф‘2 - ф2ф'[ =

а1 1а2 2 “ а1 2а2 1 ~ 0

(4.74)

191
(постоянство вронскиана). Из (4.74) и (4.70) находим, что произведение корней равно
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed