Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
'¦max
-ЛЕ=4\р, I Emin
Рис. 4.7. Смещение и расщепление дискретного атомного уровня Е0 в цепочке атомов.
перекрываются в большем объеме. Оценка дает для внешних орбит (скажем, Зх в случае натрия)
ft ~КГ'1 эрг, (4.55)
а для внутренних (скажем, Is) -
/3, ~10"JO эрг, (4.56)
т.е. ширина полос валентных электронов на много порядков больше, чем внутренних. Косвенным указанием на относительное сохранение квазидискретности глубинных уровней являются характеристические рентгеновские спектры, практически сохраняющие линейчатый характер во всех агрегатных состояниях. Можно сказать, что модель цепочки атомов ближе к реальному кристаллу в случае узких полос.
Величинаh/\Pt |, имеющая размерность времени, характеризует время т перехода электрона от узла к узлу. Из (4.55) следует, что для внешних электронов т ~fi/|/3i | ~ 10”1 s с, т.е. порядка времен внутриатомных процессов (см. 3.3). Для внутренних электронов из (4.56) имеем э— 10-7 с, что по атомным масштабам очень большое время: электрон успеет много раз ’’обернуться” вокруг ядра, прежде чем перейдет к соседнему.
Выясним зависимость энергии И от к в энергетической полосе (рис. 4.6). Для уяснения физического смысла к рассмотрим среднее значение оператора тока в цепочке. Из квантовой механики для среднего тока имеем
eh / Э ф д ф'\
(J)- ------ fdxU*-----------Ф------- . (4.57)
2 im \ дх дх /
Подставляя ф* и ф из (4.46) и (4.52), находим
(J > = - (2eh/m) у sin kd, (4.58)
где
188
Nd difi (х + d)
± / (х) ----------------- dx. (4.59)
о дх
Следовательно, для средней скорости электрона имеем <и>=е~’ </> = (2h/w) 7 sin kd.
(4.60)
Величина у, так же, как 0,, зависит от расстояния между узлами и от того, каким электронам (валентным или глубинным) соответствует функция <р (v). Именно, у исчезающе мало для глубинных электронов, а для валентных оценка дает 7 ~ 108 см'1, и из (4.60) при |sinW| ~1 находим <и> ~ ~108 см/с, т.е. в состояниях, не очень близких к "дну” полосы (|sinfa/| ~1), у валентных электронов средняя скорость близка скорости Ферми свободных электронов. Но есть и существенное различие: именно, энергия электрона в цепочке и его средняя скорость связаны друг с другом не так, как у свободного электрона: в = т*( v )2 /2. Это видно из сравнения зависимостей Е(к) и< и )(к) (рис. 4.6), из которого следует, что в состояниях нижней части полосы с ростом А растет и(и>. В состояниях же верхней половины полосы средняя скорость уменьшается с ростом энергии, что совершенно непонятно с точки зрения теории свободного газа. Эта особенность поведения электрона в цепочке является результатом его взаимодействия с ее периодическим полем. Под Е (к) следует понимать не энергию изолированного электрона, а энергию цепочки в цепом, для которой необязательно сохранение соотношения, справедливого для свободного электрона. Только для состояний у дна полосы (малые энергии) или у ее потолка (наибольшие энергии) энергии электрона в цепочке можно придать классическую форму. Из (4.53) имеем
Е -Emin =21/3,1(1 cos kd).
Минимальному уровню полосы соответствует к = 0, разлагая cos .kd вблизи к = 0 до членов второго порядка по kd, получим
е' = А' - /imin * 1/3, |Л2*/2 . (4.61)
Точно так же, согласно (4.53), имеем
?'-?m„ =-2Ц8,|(1 + cos kd). (4.62)
Максимальному уровню полосы отвечает к = ±ir/d\ проводя разложение в том же приближении, находим
е"=Е-Етах =- 1/3,U’V, k'=k- ir/d. (4.63)
Введем величины, называемые квазиимпульсами р =hk и р = \\к' и имеющие размерность импульса; тогда
е' = |0, | d2h2p2, е" = - |0, | d2h~2p2. (4.64)
Между (4.64) и соответствующей формулой для свободного электрона можно установить соответствие, если величинуh2/210,\d2, размерности массы, назвать эффективной массой \т* | электрона в цепочке
|ю*| = И2|0,|</2. (4.65)
Из (4.63) следует, что для уровней у дна полосы т*> о, а у потолка т*< <0. Последнее и выражает необычную связь энергии и средней скорости электрона в цепочке. Ниже будет показано, что существование т* <0 приводит к тому, что внешнее поле не ускоряет, а замедляет электрон в решет-
189
ке, что может приводить, в известных условиях, к кажущемуся появлению положительных зарядов, участвующих в токе в металле (см. обсуждение ’’катастрофы” с эффектом Холла в п. 3.7.5).
4.1.4. Точная теория движения электрона
в одномерной цепочке
