Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
h2 d2 ip:
---------ТГ +Vj*j = E0*j. (4.36)
2m dx
В итоге имеем
I aj {E - E0 - [ V (x) - Vj (x)]} ^ (x) = 0. (4.37)
/= 1
Условие нормировки функций
S*dx |*.-(x)|2 = l (4.38)
0 '
185
Рис. 4.4. Замкнутая цепочка атомов.
и приближенное условие их ортогональности
/ dxifj (дт)^/г (х) ~ 0 (/' Ф}) (4.39)
о
предполагаются выполненными. При этом приемлемость (4.39) видна из рис. 4.5, ибо там, где $,{х) заметно отлична от нуля (х ^ jd), >рг(х) (/' Ф j) близка к нулю и наоборот, где^;(дг) имеет максимум (х ~j'd), ^Ддг) близка к нулю. Поэтому во всем интервале от 0 до d произведение *f>j(x) *р*,(х) близко к нулю. Умножая (4.37) слева на tf’(x) и интегрируя по всей цепочке, учитывая (4.38) и (4.39) и заменяя/' на /, а затем индекс суммирования -на /, получаем
(Л- 1 ) / 2 (e-a)aj- 2^ 0,- (a/+f + а,
= 0, (4-40)
е = Е-Е0, (4.41)
а интегралы а и j3,-, имеющие размерность энергии, равны
а = fdx\ц(х)\2 [V(x) - Vj (дг)] (4.42)
- энергия взаимодействия электрона с ’’чужими” ионами цепочки (здесь
опущен индекс i (j), ибо, как можно показать, а не зависит от номера атома);
0, = / dxtf (х) [V(х) - Vjt(jf) ] sfj ± i (л-)
(4.43)
- ’’интеграл переноса” - амплитуда вероятности перехода электрона от узла / и / ± / под влиянием потенциала V (дг) - К; ± ,• (л). В силу быстрого затухания щ (дг) при удалении х от узла /, в (4.43) достаточно ограничиться интегралом для / = 1, т.е. приближением ближайших соседей, тогда (4.40) примет вид
(е - a) aj - /3, (а/+ , + а,- _ ,) = 0, /=1,2.N, (4.44)
т.е. получаем систему Л'однородных уравнений первой степени в конечных разностях сЛ'+ 1 неизвестными (at, а2> • • • > и е). Ищем решение
(4.44) в виде
а; = а0 cxp(ikjd), /=1,2,------Л', (4-45)
гдеа0 определяется из условий нормировки функции (4.35), к - параметр
Рис. 4.5. Перекрытие волновых функ ций ср(л) соседних атомов / и /’.
186
эазмерности см Таким образом, для (4.35) находим
ф (х) = 2 а0 ехр (ik/d) у(х - jd) = e\p(ikx)u (.v), /'= i
где
(4.46)
(4.47)
и (х) = а0 2 ехр [-ik (х - jd)] *р(х - jd) = и (,v + nd)
/= i
периодична с периодом цепочки. Как и в предыдущей задаче, волновая функция — это плоская волна, модулированная с периодом цепочки. Подставляя (4.45) и (4.44), находим энергию
е = <2 + 2/3! coskd или Е = Е0 + а + 20i coskd. (4.48)
Параметр к находим из краевых условий а;- =а/+ что дает ехр (ikNd) = 1, откуда kNd = 2этк, и, следовательно,
к = 2этк/ЛУ, к = 0, ±1, ±2,. . . (4.49)
Из (4.48) видно, чтое - периодическая функция k\N различных решений
(4.45) и величины энергий е (к) соответствуют интервалу значений
- -n/d <k<v/d, (4.50)
называемому зоной Бриллюэна (см. (2.15)), а по (4.49) соответственно для чисел к имеем
- Л//2 <к <Л//2. (4.51)
По общему правилу квантовой механики величина |д;|2 определяет вероятность того, что электрон находится у /-го атома цепочки. По (4.45) она равна \а0 |2 и не зависит от номера узла; электрон с равной вероятностью находится у любого узла и свободно движется по цепочке, несмотря на потенциальные барьеры между атомами. Из условий нормировки ф и (4.38), (4.39) N
находим ?|я/|2 = 1 и,в силу (4.45),
ы2 = 1 /Аг.
(4.52)
Из (4.48) видно, что соединение /V атомов в цепочку приводит к расщеплению атомного уровня Е0 в полосу. Ширина ее определяется интегралом
01. Если, для определенности, считать, что а и 0( отрицательны, (4.48) можно записать в виде
Е (к) = Е0 - |а| - 2 |01 | cos kd. (4.53)
Период функции Е (к) согласно (4.50) равен 2 vjd (рис. 4.6). Минимум энергии лежит при к = 0: Emin = Е0 -
— |а| — 2 |011, а максимум при к = ±ir/d: i'max =?'о - N + 2 1011. Их разность дает ширину энергетической полосы
ДА' = *тах-Л’пН„=4|0, I- И'54»
Рис. 4.6. Функция 4(A) из (4.53).
Е~Е0+\а\
Из (4.53) следует, что генезис энергии электрона в цепочке таков: уровень изолированного атома Н0 понижается на величину |а|, равную энергии связи электрона с чужими ионами, и затем этот смещенный уровень расщепляется в полосу шириной АП = 41/3j | (рис. 4.7). Порядок величины интеграла 0! определяется произведением щ (х) ^-+*,(*). Если атомы удалять друг от друга, то это произведение будет уменьшаться. Кроме того, оно зависит от того, какое состояние описывает ^ • . Для внешних орбит это произведение больше, чем для внутренних, ибо для первых \pj(x) и ^/ti(*)
