Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вонсовский С.В. -> "Квантовая физика твердого тела." -> 89

Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.

Вонсовский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика твердого тела. — М.: Наука, 1983. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): vonsovskiykvantovayafizika1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 164 >> Следующая


- вещественная величина. Уравнения (4.17)-(4.24) остаются такими же, как и при Е < Уа. Поэтому в (4.24) можно заменить 0 на iy и, используя соотношения ch ix = cos jc, sh ix = i sin x, вместо (4.25) получим

-1 < cos ya cos ab - [(«J + y2)l2ay] sin ya sin ab < 1. (4.29)

183
Рис. 4.3. Энергетический спектр в модели прямоугольных потенциальных барьеров высоты У0: случай одной потенциальной ямы (а); случай цепочки барьеров (б).

Для того же численного примера имеем

-1 < [cos 12\/е cos (у/е -1'/2) + ((1 + 2e)j2\/e (е -Г))Х X sin 12\fe sin (\Je — Г/ 2)] < 1 . (4.30)

Здесь e =E/V0 > 1, а функция F(e) (квадратные скобки в (4.30)) изображена на рис. 4.2, б для е > 1. Поэтому спектр энергий для Е > V0 также имеет вид непрерывных полос, разделенных запрещенными щелями. Эта часть спектра показана на рис. 4.3, б в виде заштрихованных полос. Из сравнения с рис. 4.3, а видно, что периодичность (при Е > У0) расщепляет и непрерывный спектр одиночной ямы на полосы, разделенные щелями.

Определим положение и ширину щелей при Е > V0. Из (4.30) с точностью до величин~V0/E=^ находим

-1 < [cosac + sinac(aai-/2)] < 1. (4.31)

П

Из (4.31) видно, что выражение в квадратных скобках F (е) равно (-1) всякий раз, когда аргумент ас = (2mE/h2 )1/2 с = птг (п > 0 - целое число). При значениях ас, несколько меньших ля, sin а с и cos а с имеют противоположные знаки и |F(e)| < 1; поэтому соответствующие значения энергии допустимы. Наоборот, при ас > п я знаки sin ас и cos ас одинаковы и |F (е)| > > 1. Таким образом, к каждой точке цс = птг справа (т.е. для ас > ия) примыкает область недозволенных энергий.

Выясним физический смысл границы запрещенной области. Величина h а, как это следует из (4.16) и (4.19), подобна импульсу свободной частицы (только вместо постоянного фактора фазовый множитель ехр (± /ах) в волновой функции умножается на/1„ или/?„, которые, в силу (4.22) и (4.23), зависят от энергии; ее называют квазиимпульсом (а - волновое число)). Тогда условие для границы щели будет а = пп/с, т.е. знакомая по (1.34) формула Вульфа - Брегга. Введем длину волны электронаХ = 2я/а, тогда это условие принимает стандартный вид (1.34)

2 с = и X, (4.32)

поскольку для одномерной цепочки \) = я/2 и sin д = 1. Таким образом, энергетическая щель появляется, когда электронная волна испытывает вульф-брегговское полное внутреннее отражение, препятствующее прохождению тока электронов в цепочке.

Оценим ширину щелей. Введем в (4.31) обозначение а с ?/2= tg^. Легко сообразить, что F ( е) достигает значений (-1)" не только при ас = ля, но и при cos (ас - <р) = (-1)” cos v?, когда ас = ля + 2<^. Поэтому ширина щелей равна 2^. При больших л (малых ?) можно принять ^=arctgac ?/2 » ^aci-/2 и 2^*» с (2m)1/2 V0jbE1^2. Следовательно, ширина щелей убывает пропорционально Е~1^2 или л"1 (ибо границы щелей определяются из условия ас = (2mE/h2 )1^2 с = ля). Можно показать, что с ростом высоты барьеров У0, характеризующей связь электрона с решеткой, ширина разрешенных

184
полос уменьшается. В пределе V0 -*¦00 получаем дискретный спектр изолированной ямы. Наоборот, при V0 ->¦ 0 имеем случай свободного электрона с непрерывным спектром. Ниже покажем, что найденный полосатый спектр энергий характерен для электронов в любом периодическом поле.

4.1.3. Линейная цепочка атомов

Рассмотрим теперь движение электрона в одномерной цепочке N ионов. Чтобы избежать трудности с учетом условий на концах цепочки, замкнем ее в кольцо (см. п. 2.2.1 и рис. 4.4). Припишем ионам номера/ = 1,2,... N, при этом N + 1 -номер будет совпадать с 1. Энергия V (х) равна сумме потенциальных энергий ионов (это допущение возможно, если энергия первого возбужденного состояния k\ достаточно далека от энергии основного состоянияЕ0, так что разность^ - Е0 гораздо больше расщепления этих энергий в поле цепочки)

V (л:) = I V (х - jd) (4.33)

;= 1

(1cl - расстояние между соседними ионами) и обладает свойством периодичности

К(х) = V (х + nd). (4.34)

Фактически V (х) не равна (4.33) в силу ’’искажения” потенциала в межатомных областях из-за взаимодействия атомов. Однако здесь мы пренебрежем этим дефектом. Волновая функция электрона ф (х) удовлетворяет уравнению Шредингера (4.12) с потенциалом (4.33). Ищем ее в виде суммы волновых функций ip4 (х) основного состояния электрона изолированного атома:

ф (х) = I aj ypj (х) = I aj \р (х - jd). (4.35)

/= 1 /= 1

Такой вид решения был бы точен, если бы \pj (х) образовывали полную систему ортонормированных функций. В действительности это не так, ибо даже в отдельном атоме имеется бесконечная совокупность таких функций. Несмотря на это (см. замечание выше), будем считать разложение (4.35) точным. Решение в виде (4.35) означает, что электрон имеет конечную вероятность находиться у любого узла цепочки. Коэффициенты а;- из (4.35) определяются его подстановкой в (4.13) с учетом того, что щ (х) удовлетворяют уравнению Шредингера отдельного атома
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed