Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ищем решение в виде
ф (х) = ехр (ikx)u (х), (4.13)
где и (х) — периодическая функция х с периодом с:
и (х + пс) = и (х). (4.14)
Такой вид решения естествен из физических соображений. Что такие решения существуют, видно из дальнейшего, а что все решения (4.12) имеют вид (4.13), (4.14), покажем в п. 4.1.4. Предположим сначала, что энергия Е заключена в интервале
0<?<Уо. (415)
Введем обозначения
а2 = 2mE/h2, р2 = 2m ( V0 - E)/h2 . (4.16)
Подстановка (4.13), (4.16) в (4.12) дает внутри барьера (-а < х < 0) d2 u/dx2 + 2ik du/dx + (а2- к2) и = 0, внутри ямы (0 < b) - (417)
d2u/dx2 + 2ik du/dx - (Р2 +k2)u =0.
1 См., например, Kronig R.deL., Penney W.G. - Proc. Roy. Soc., 1931, v. 180, p.499, а также Rojansky V. Introductory Quantum Mechanics. - N.Y.: Acad. Press, 1938.
181
Решения (4.17) соответственно будут внутри w-й ямы:
ип (х) =Ап схр [/ (а - к) х] + Вп ехр [ / (а + ?)х ],
внутри п-го барьера (4.18)
ип (х) = Сп ехр [(Д — /A:).v] + Dn ехр [- (0 + ik)x].
где Ап, Вп, С„ и Пп произвольные постоянные, и, следовательно, внутри п-й ямы
ф (х) = ехр (/а.г) А„ + ехр (-/ах) В„ , внутри п-го барьера
ф (х) = ехр (0х) Сп + exp(-0x)D„. (4.19)
Используя условие (4.14), находим для ям (0 < х < Ь)
А0 ехр [/' (а - ?)х] + В0 ехр [-/ (а + ?)х] =
= А„ ехр [/ (а ?) (х - /гс)] + Вп ехр [-/ (а + Л) (х + ис)], (4.20)
а для барьеров (0 > х > - а)
С0 ехр [0 - /?)х] + D0 ехр [- (0 +/?)х] =
= С„ ехр [(0 - ik) (х + л с) ] +Dn ехр [- (0 + ik) (х + ис)]. (4-21)
Из (4.20) и (4.21) находим
Ап =А0 ехр [-/(а - к)пс\, Вп =В0 схр [/ (а + к)пс], (4.22)
Сп = С0 ехр [- (0 ik) пс], D„ = D0 ехр [(0 + ik) ис ].
Таким образом, условия периодичности уменьшают число произвольных постоянных в (4.19) до четырех: А0, В0, С0 иД0- Их надо подобрать так, чтобы волновая функция и ее производная были непрерывны на границах барьера (прих =0, Ь). Это дает, в силу (4.19) и (4.22),
А0 +В0 =С0 +D0, i (а к)А0 / (а + Л) В0 = (0 - ik)C0 + (0 + ik) D0 ,
ехр [/ (а ?) b ] А0 + ехр [ / (а + к) b ] В0 =
= ехр [ (0 ik)a ] С0 + ехр [(0 + ik)a \ D0,
i (а - ?) ехр [/ (а - ?) Ь\ А0 - / (а + Л) ехр [ - / (а + Л) Ь ] В0 =
= (0 - ik) ехр [ - (0 - ik)a\ С0 - (0 + ik) ехр [(0 + ik)a] D0. (4.23)
Система (4.23) имеет отличные от нуля решения, если ее определитель равен нулю, т.е.
ch 0а cosab + [(02 - а2)/2а0] sh0a sin ab = cos кс. (4-24)
Отсюда, учитывая (4.16), находим энергию как функцию^:. Поскольку к вещественно, то веществен и cos кс, поэтому левая часть (4.24) заключена в пределах
- 1 < ch 0а cos ab + [(02 - а2)/2а0] sh/За sin ab < 1 . (4-25)
182
Рис. 4.2. Функция /•(<): случай Н < У0. с < 1 (по уравнению (4.26)) (в), случай Е > У0. е > 1 (по уравнению (4.30)) (б).
Неравенства (4.25) согласуются с (4.12). Рассмотрим численный пример: 1тУ0Ь2Ц\2 = W/a = 6/24, е = Е/ У0- Тогда (4.25) примет вид
-1 < [ch (>/1 - e/2) cos 12у/е +
+ ((1 - 2e)/2Ve(l -e)sh (VI - е/2) sin 12>/е] <1.(4.26)
Осциллирующая функция F(e) в квадратных скобках дана на рис. 4,2 а, откуда видно, что для е<0,03 (?'0 <0,03 Р0) кривая Е(е) лежит выше ординаты +1. Поэтому энергии Е< 0,03 У0 не удовлетворяют (4.26) и не дозволены. Для е, лежащих в интервале 0,03 < е < 0,06, показанном на оси абсцисс жирной чертой, все значения Е (0,03 У0 < Е < 0,06 У0) дозволены, ибо If (e)L< 1. Для е >0,06 функция F(e)<~ 1, поэюму- энергии Е > 0,06 У0 недозволены и т.д. В исследуемом интервале энергий 0 < е < 1 имеются четыре полосы дозволенных энергий:
0,03 У0 < Е <0,06 У0 - первая полоса,
0,13 ^0< Е < 0,25 У0 - вторая полоса,
0,33 У о < Е < 0|57 У0 - третья полоса,
0,64 У0 < Е< 0,99 У0 - четвертая полоса. (4.27)
Таким образом, энергетический спектр электрона в периодическом поле цепочки прямоугольных барьеров имеет вид разрешенных полос, разделенных запрещенными щелями. Это показано на оси абсцисс рис. 4.2 соответственно жирными и тонкими участками, а на рис. 4.3 - заштрихованными и пустыми полосами. Горизонтальные линии на рис. 4.3, а дают дискретный спектр электрона! при Е < У0 в одной потенциальной яме (при Е>У0 - непрерывный спектр). Переход же от одной ямы к их периодической последовательности (с барьерами атомных размеров ~ 10'8 см) расщепляет каждый дискретный уровень в полосу (рис. 4.3, б).
Рассмотрим далее случай Е > У0 . Тогда по (4.16), 0 = iy - мнимая величина, где
у= [2mh~2 (Е ~ ^о)]1/2 (4.28)
