Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Vo = V =0~3Nr3, P3~l. (3.85)
Это дает, вместо (3.84),
_____1_ \ - Уо)2
Ь° * 2 I Эг2 /0 9N2r%
В силу (3.82) и (3.83), имеем
(Э2?/Эг2 )0 = -2 Aid + 6fi/rJ = Л/г2
и, следовательно,
? - ?0 = М^/2)(К- V0)2l9N2rl. (3.86)
Энергию упругого деформированного тела обычно записывают так:
? - ?0 = (*/2) (И - V0)2IV0, (3.87)
где /С — модуль всестороннего сжатия. Сравнивая (3.86) с (3.87) и принимая во внимание (3.82) и (3.83), находим статистическое определение модуля всестороннего сжатия
К = AP6V0l9N2rl = ae2NI9V0r0 = 2?/9К0; (3.88)
здесь мы использовали теорему вириала (3.18). Из (3.88) легко оценить порядок величины модуля К. Подставляя N/V0 ~ (1 -^3) • 1022 см”3,
е ~4,8 • 1(Г10 СГСЕ, а ~ (1 3), получаем Ктеор ~ 1010 н- Ю11 эрг/см3 ^
** 104 105 атм. Для щелочных металлов опыт дает Xni» ^ 0.6 • 10s атм,
Кк * 0,3 • 105 атм и /ГLj ** 1,1 • Ю5 атм. Таким образом, согласие теории и опыта вполне хорошее. Произведем далее оценку прочности металла по Френкелю, т.е. определим максимальное давление р_, которое металл может выдержать без разрушения. Условие максимума имеет вид dp/dV = 0 или, в силу того, что р = ~ d8,/dV, d28,/dV2 = 0. Согласно (3.83) и (3.85) имеем
d2&
Hv2
d /d& dr \ d Г/A 2B\ fi3 1
dV\dr dV) dv[\r2 ~ r3 J 3r2N \
откуда находим
В = 2Агтлх/5, (3.89)
где гтах — наибольший достижимый радиус атомного объема, соответствующий максимально возможному отрицательному давлению Р—max. после которого наступает разрушение металла. По определению,
р = -d&ldV = -(Р3/Зг2 АО (<*?/'<*•),
132
или в силу (3.83),
р = АА/гг — 2B/r3) (03/3r2/V).
(3.90)
Подставляя в (3.90) В из (3.89) и А из (3.83), находим Р- шах = —AfS3 l\5Nr max = —оф3е2 l\5r max-
(3.91)
Полати а/?3/15 ~ 1, е »4,8 ¦ 1СГ10 СГСЕ и гтах » 1(Г® см, получаем оценочное значение р_-тах ~ Ю11 дин/см2 ~ 105 атм. Из опыта известно, что фактическая прочность металлов в сотни раз меньше этого теоретического предела. Это объясняется тем, что практически невозможно осуществить однородное всестороннее растяжение, в образце неизбежно возникают области перенапряжения, и, как впервые указал Иоффе А.Ф., наличие дефектов на поверхности, в силу концентрации напряжений около них, приводит к эффективному снижению прочности образца. Поэтому оценку (3.91) можно рассматривать как верхний предел прочности металла.
3.5.4. Парамагнетизм вырожденного электронного газа
(теория Дорфмана - Паули)
Все металлы и сплавы обладают магнитными свойствами. Различают два класса: металлы и сплавы, в которых ни при каких условиях в отсутствие внешнего магнитного поля не возникает атомный магнитный порядок (ферро-, антиферро- или ферримагнитный), металлы и сплавы,-где такой порядок наблюдается в определенном интервале температур. Второй случай требует, чтобы в составе сплава хотя бы одна компонента была переходным элементом. Рассматривая пока нормальные металлы, ограничимся изучением первого типа металлических магнетиков: слабомагнитных диа-или парамагнетиков.
В табл. 3.3 приведены магнитные восприимчивости нормальных металлов. Из нее видно, что щелочные и щелочноземельные металлы (кроме Be) — парамагнетики. Восприимчивость их мала (Хпм ~ 10"4) и практически не зависит от температуры. Среда элементов третьей и четвертой групп только алюминий и белое олово — парамагнетики. Другие нормальные металлы — диамагнетики, с небольшой (кроме Bi) восприимчивостью
Здесь возникают вопросы: почему часть металлов — парамагнетики, а часть — диамагнетики и почему их восприимчивость практически не зависит от температуры.
Свободный электрон, обладая собственным механическим моментом — спином и одновременно электрическим зарядом, должен обладать и магнитным моментом цэп. В релятивистской квантовой механике доказано, что спиновый магнитный момент свободного электрона равен магнетону Бора
Если бы электроны проводимости подчинялись законам классической статистики, то их парамагнетизм был бы похож на парамагнетизм обычных газов. В частности, температурная зависимость восприимчивости газа плотности п подчинялась бы закону Кюри
(I ХдмI ~1(Г6) и с Эхим/ЭГ^О..
= I е I h/2mc.
(3.92)
Хям(П = пц\!кьТ.
(3.93)
133
Таблица 3.3
Атомные (хл) н удельные (х) магнитные восприимчивости слабомагннтных (дна- н парамагнитных) нормальных металлов при Т 300 К
Элемент Плот ХА ¦ Ю6 х • 10* Элемент Плот XA * 10‘ x • 10*
ность ность
г • см'3 Г • CM-3
Li 0,534 + 24,6 + 1,89 Zn 7,131 -11,4 -1,24
Na 0,9725 + 16,1 + 0,68 Cd 8,65 -19,7 -1,55
К 0,862 + 21,35 + 0.47 Hg 13,6902 -33,3 -2,25
