Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вонсовский С.В. -> "Квантовая физика твердого тела." -> 62

Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.

Вонсовский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика твердого тела. — М.: Наука, 1983. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): vonsovskiykvantovayafizika1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 164 >> Следующая

кона дисперсии е(р). Тогда функция g(e) имеет произвольный вид; вместо (3.44) - (3.46) будем иметь

+ - _____ +- е / Ъп (е) \

^ = / g(e)n(e)de = -J [ / g-(jc) с/х] —--------) de, (3.66)

о оо \ ое /

+ « _____ +« е /Э п(е)\

? = f eg(e)n(e)de= - f [fg(x)xdx] I——J de. (3.67)

0 0 0 \ 0€ J

В силу (3.49) и (3.58) приближенно получим вместо (3.59) и (3.60)

N= /deg (е) + (эт2/ Ь)(кБТ)2 gl (f), (3.68)

О

? = } deeg (е) + (1т2/ 6)(кБТ)2 [&'(f)+?(f)b (3-69)

о

где^'(f) — производная bg(e)jbe при е = f.

Записывая f в виде f = fo + (l5f I <$0) и разлагая (3.68), (3.69) no 5f, найдем аналогично (3.63), (3.64)

Г = Го — (я'2/6) (кБТ^)2 g'($o)lg (fo)> (3.70)

Т2

6 - &т=о 7 ^ > (3-71)

где

7 = *2*ЫГо)/3. (3.72)

Электронная теплоемкость при постоянном объеме

С„ = 3S/37 = уТ, (3.73)

что является более точным по сравнению с формулой (3.43). Измерение теплоемкости металлов при низких температурах дает возможность непосредственно определить очень важную характеристику - плотность состояний на уровне Ферми g (f 0) ¦

При Т = 0 для модели свободных электронов энергия равна (см. (3.61), (3.33))

S = 3/Vfo/5 = (3/г2А710ш*)(ЗЛ78тгК)2/3. (3.74)

Давление Ферми газа при Т = 0 определяется формулой

2

Ро = as/Э ^ = 2S/3K = —Hfo/5. (3.75)

5

Численная оценка при п ~ 1022 см-3 и f0 ~ 10 “м эрг дает Ро ~10M дин/см2 ~ 105 атм. Такое огромное давление обусловлено высокой плотностью электронов. Можно легко понять, почему они не разлетаются через поверхность кристалла, ’’прочность” которой имеет, как на это указал впервые Френкель, электрическую природу. Отрицательно заряженный электрон, покидая металл, испытывает притяжение положительного заряда ионной решетки. Эта сила приближенно оценивается кулоновским притяжением электрона его положительным электри-

130
ческим изображением (см. (3.146)). При малых расстояниях от поверхности эта сила очень большая, и у поверхности возникает высокий потенциальный барьер, способный выдержать большое давление электронов.

3.5.3. Атомный объем, сжимаемость и прочность металлов

Рассмотрим подробнее природу этого барьера, обеспечивающего устойчивость металла. Взаимодействие электрона и его изображения создает отрицательное давление, при равновесии компенсирующее положительное давление (3.75). Потенциальная энергия электрона относительно иона равна

еПОт = <*'е21г, (3.76)

где а — численная постоянная — 1, а г - среднее расстояние между

электроном и ближайшим ионом, вычисляемое через плотность электронов

г * й-1/\ (3.77)

где численный коэффициент 0 ~ 1 определяется типом кристалла. Подставляя (3.77) в (3.76), находим

еПОт = ае2п113 (а = а'//}).

Подставляя и из (3.31), получаем для потенциальной энергии

Ёпот= NenoT = -ae^^K-1'3 (3.78)

Отрицательное давление р_ равно

р_ = -Эйпог/ЭН = -аЛ^3е2/ЗК1/3 = - ае2эт1/3/3. (3.79)

При равновесии сумма р_ и р0 из (3.75) равна нулю:

р = + ро =0, (3.80)

откуда, в сшту (3.79), (3.75) и (3.36), получаем

гат = п1/3 « (3/10) (3/8тг)2^3 (И2 /те2) ~10“8 см. (3.81)

Эта величина очень близка к величине радиуса первой электронной орбиты атома водорода И2/4и2 те2. Этот элементарный расчет показал, что нулевая кинетическая энергия вырожденного электронного газа и обусловленное ею положительное давление (3.75) имеют разумный динамический смысл и дают правильную оценку атомного объема в металле.

Вычислим теперь сжимаемость металла. Заметим, что (3.80), в силу (3.75) и (3.79), есть условие минимума полной энергии кристалла:

с1& d

—------— (Ёпот + &кин) _ (3.82)

dr dr

Согласно (3.78), (3.77) и (3.75),

8 = —А/г + В/г2, (3.83)

где А = ае2;\'. В = pii2N/2m.

Если металл сжат или растяну! внешним давлением, то его энергия & увели-

131
& —

чивается по сравнению с &0 в отсутствие давления. При малых деформациях ? - й0 Я1~(д2&/дг1)0(г-г0)2, (3-84)

где г и гв — атомные радиусы деформированного и не деформированного кристаллов. Линейный по (г — г0) член разложения отсутствует, в силу условия (3.82), а членами выше второго порядка пренебрегаем. Заменим атомные радиусы г и г0 через объем металла:
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed