Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вонсовский С.В. -> "Квантовая физика твердого тела." -> 61

Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.

Вонсовский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика твердого тела. — М.: Наука, 1983. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): vonsovskiykvantovayafizika1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 164 >> Следующая


о о

Таким образом, необходимо вычислить типичный интеграл

I=C f dea (е) дп (е)/Эе, (3.47)

о

где а (е) - непрерывная функция е. Для удобства введем

х = (е ~{)/кБТ. (3.48)

Тогда

а (е) -*¦ а (х)

1 Только электроны с плотностью п f дают вклад в теплоемкость. Электроны с

е ? S - кБТ не могут увеличить энергию, получив ее от нагревателя, ибо они

попали бы в уже занятое состояние, что запрещено принципом Паули.

127
и (3.47) примет вид

l = C f dxa(x) дп (х)/дх. (3.49)

г

При сильном вырождении, когда справедливо (3.41), спад кривой и(.г) вблизи .V = 0 очень крутой и производная dti{xjjdx близка к 5-функции от х (рис. 3.6) и точно равна ей при О К. Это допускает простой способ приближенного вычисления (3.47).

В силу (3.41), нижний предел в (3.49) можно заменить на —

I ^ С f dxa (х) дп (х)/дх. (3.50)

Предположим, что функцию а(*) можно разложить вблизи х = 0 по степеням х:

^ _ / да \ 1 /д2 а \

а(х) = а(0) + — X+ — I—J х2+... (3.51)

' ох / о 2 \ ох / о

Подставляя (3.51) в (3.50),имеем

Эа

/ =* С I dx дп (х)/дх I а (0) + I---I х +

+ °° ----- г~ / да \

С J dx дп (x)jdx a(0) + I---)

- ~ L V дх / о

1 /Э2а\ 1

7fer+-J = /o+/l+/2+-- (352)

Первое слагаемое /0 в (3.52) можно вычислить при точном нижнем пределе интеграла; оно равно

/0 = Ca(0) J dx дп (х)/дх = -Са(0). (3.53)

Второе слагаемое в (3.52) равно нулю из-за нечетности функции дп(х)/дх. Действительно, в силу (3.28) и (3.48) имеем

дп~(х)/дх = —ех/(ех + I)2 = -е хЦе " * + 1)2 = ~dnj^x)/d (-х). (3.54)

Третий член в (3.52) имеет вид

I2 =-C(d2S/dx2)0T dxx2e х1(е х + \)2. (3.55)

о

Разложим знаменатель подынтегральной функции в ряд по степеням ё~х и проинтегрируем его почленно. Это даст

dxx2e x/(e х + \)~2 = 7° dx х2 (е х - 2е~ 2х + Зе зх - ... ) =

о о

/11 \ я2

(356)

+ оо

Здесь использовано, что / dx хпе п,х = п\/т', + 2

о

128
для п = 2 и сумма знакопеременного ряда

зГ (—1)Л + 1А:“2 = тг2/12. к=\

Подставляя (3.56) в (3.55), находим

/2 = -(тт2/6)С{Ъ2а/Ъх2)0. (3.57)

Складывая (3.53) в (3.57) и переходя от а (х) ка(е),имеем

a (f) + -

тг Э а (е)

6 Эе

(кБТ)2\. (3.58)

f = r

Быстрота сходимости (3.58) определяется близостью производной -Ъп (е) /Эе к 5-функции. Нулевой член разложения (3.52) получается, если положить -Ъп (е)/Эе = 5(е — f), а следующие члены учитывают поправку на конечную ’’ширину” функции —Ъп (е)/Эе. Поэтому при условии сильного вырождения (3.41) в нулевом приближении все статистические параметры газа Ферми можно вычислять, если функцию распределения л(е) заменить ступенькой Ферми, а -Ъп (е)/ Эе считать 5-функцией.

Используя (3.58), вычислим ?(Г) и ?(Г) по (3.35) и (3.46). В этих случаях соответственно имеем а(е) = е3^2 и а(е) = es^2. Подставляя эти выражения в (3.58), находим

N * 7з С?3/2 [ 1 + (tfV8)(*Б т2 ], (3.59)

? *2k С?5/2 [ 1 + (5тг2/8) (*Б Г/f2 ]. (3.60)

Так как кБТ < f, то вторые слагаемые в (3.59) и (3.60) малы, что оправдывает приближение (3.52). Из сравнения (3.60) с (3.59) видно, что с точностью до членов ~(кБТЦ)л

?~3/s N{[1 +(п212)(кБТ1$)2]. (3.61)

Для вычисления f (Т) используем (3.36) и (3.33), что дает, вместе с (3.59),

N = % ctf2» % С!3'2 [1 + (тг2/8)(*Б ТЮ2 ] (3.62)

или

Г = [1 -0г2/12)(*б7УГо)2]- (3-63)

Из (3.63) видно, что точка наиболее крутого ’’спада” функции п(е) (где п (е) = 1А) при сильном вырождении с ростом Т слабо смещается к началу координат от энергии Ферми f0> т-е. f (D мало отличается от fo, как это и предполагалось выше. В силу (3.63) и (3.61), средняя энергия электрона проводимости при Т > 0 К (но при кБТ< f0) равна

е = % f0 [1 +(5я712)(*б77$-0)2] =

= е0 [1 + (5тг2/12)(кБТ1$0)2 ] =е0 + у'Т212, (3.64)

где

у'=п2к2Б12f0- (3.65)

Полученные результаты можно обобщить на случай произвольного за-9. Зак.768 129
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed