Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
о о
Таким образом, необходимо вычислить типичный интеграл
I=C f dea (е) дп (е)/Эе, (3.47)
о
где а (е) - непрерывная функция е. Для удобства введем
х = (е ~{)/кБТ. (3.48)
Тогда
а (е) -*¦ а (х)
1 Только электроны с плотностью п f дают вклад в теплоемкость. Электроны с
е ? S - кБТ не могут увеличить энергию, получив ее от нагревателя, ибо они
попали бы в уже занятое состояние, что запрещено принципом Паули.
127
и (3.47) примет вид
l = C f dxa(x) дп (х)/дх. (3.49)
г
При сильном вырождении, когда справедливо (3.41), спад кривой и(.г) вблизи .V = 0 очень крутой и производная dti{xjjdx близка к 5-функции от х (рис. 3.6) и точно равна ей при О К. Это допускает простой способ приближенного вычисления (3.47).
В силу (3.41), нижний предел в (3.49) можно заменить на —
I ^ С f dxa (х) дп (х)/дх. (3.50)
Предположим, что функцию а(*) можно разложить вблизи х = 0 по степеням х:
^ _ / да \ 1 /д2 а \
а(х) = а(0) + — X+ — I—J х2+... (3.51)
' ох / о 2 \ ох / о
Подставляя (3.51) в (3.50),имеем
Эа
/ =* С I dx дп (х)/дх I а (0) + I---I х +
+ °° ----- г~ / да \
С J dx дп (x)jdx a(0) + I---)
- ~ L V дх / о
1 /Э2а\ 1
7fer+-J = /o+/l+/2+-- (352)
Первое слагаемое /0 в (3.52) можно вычислить при точном нижнем пределе интеграла; оно равно
/0 = Ca(0) J dx дп (х)/дх = -Са(0). (3.53)
Второе слагаемое в (3.52) равно нулю из-за нечетности функции дп(х)/дх. Действительно, в силу (3.28) и (3.48) имеем
дп~(х)/дх = —ех/(ех + I)2 = -е хЦе " * + 1)2 = ~dnj^x)/d (-х). (3.54)
Третий член в (3.52) имеет вид
I2 =-C(d2S/dx2)0T dxx2e х1(е х + \)2. (3.55)
о
Разложим знаменатель подынтегральной функции в ряд по степеням ё~х и проинтегрируем его почленно. Это даст
dxx2e x/(e х + \)~2 = 7° dx х2 (е х - 2е~ 2х + Зе зх - ... ) =
о о
/11 \ я2
(356)
+ оо
Здесь использовано, что / dx хпе п,х = п\/т', + 2
о
128
для п = 2 и сумма знакопеременного ряда
зГ (—1)Л + 1А:“2 = тг2/12. к=\
Подставляя (3.56) в (3.55), находим
/2 = -(тт2/6)С{Ъ2а/Ъх2)0. (3.57)
Складывая (3.53) в (3.57) и переходя от а (х) ка(е),имеем
a (f) + -
тг Э а (е)
6 Эе
(кБТ)2\. (3.58)
f = r
Быстрота сходимости (3.58) определяется близостью производной -Ъп (е) /Эе к 5-функции. Нулевой член разложения (3.52) получается, если положить -Ъп (е)/Эе = 5(е — f), а следующие члены учитывают поправку на конечную ’’ширину” функции —Ъп (е)/Эе. Поэтому при условии сильного вырождения (3.41) в нулевом приближении все статистические параметры газа Ферми можно вычислять, если функцию распределения л(е) заменить ступенькой Ферми, а -Ъп (е)/ Эе считать 5-функцией.
Используя (3.58), вычислим ?(Г) и ?(Г) по (3.35) и (3.46). В этих случаях соответственно имеем а(е) = е3^2 и а(е) = es^2. Подставляя эти выражения в (3.58), находим
N * 7з С?3/2 [ 1 + (tfV8)(*Б т2 ], (3.59)
? *2k С?5/2 [ 1 + (5тг2/8) (*Б Г/f2 ]. (3.60)
Так как кБТ < f, то вторые слагаемые в (3.59) и (3.60) малы, что оправдывает приближение (3.52). Из сравнения (3.60) с (3.59) видно, что с точностью до членов ~(кБТЦ)л
?~3/s N{[1 +(п212)(кБТ1$)2]. (3.61)
Для вычисления f (Т) используем (3.36) и (3.33), что дает, вместе с (3.59),
N = % ctf2» % С!3'2 [1 + (тг2/8)(*Б ТЮ2 ] (3.62)
или
Г = [1 -0г2/12)(*б7УГо)2]- (3-63)
Из (3.63) видно, что точка наиболее крутого ’’спада” функции п(е) (где п (е) = 1А) при сильном вырождении с ростом Т слабо смещается к началу координат от энергии Ферми f0> т-е. f (D мало отличается от fo, как это и предполагалось выше. В силу (3.63) и (3.61), средняя энергия электрона проводимости при Т > 0 К (но при кБТ< f0) равна
е = % f0 [1 +(5я712)(*б77$-0)2] =
= е0 [1 + (5тг2/12)(кБТ1$0)2 ] =е0 + у'Т212, (3.64)
где
у'=п2к2Б12f0- (3.65)
Полученные результаты можно обобщить на случай произвольного за-9. Зак.768 129