Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вонсовский С.В. -> "Квантовая физика твердого тела." -> 60

Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.

Вонсовский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика твердого тела. — М.: Наука, 1983. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): vonsovskiykvantovayafizika1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 164 >> Следующая


fo — = ^Ота х ¦ (3.36)

Функция распределения /(е) при 0 К, в силу (3.29), равна (рис. 3.7)

( 0, 6>Го,

/о (е) = (3.37)

I 4я {2m*)3t2Vh~3е1/2, е<Го-

Средняя энергия электрона при 0 К

е0 = f deef0(e) ( / (Je/0(e)) = 3f0/5 = Зеф/5. (3.38)

о о

По классической теории эта величина равна ёкл = ЗкБТ/2 и при 0 К $<л = 0. Величина (3.38) в классической теории могла быть достигнута лишь при очень высокой Т: эффективной температуре вырождения вэл газа при

125
О К, определяемой по формуле

б0 =Збф/5 =3къ6зл12. (3.39)

Принимая для f0 (см. табл. 3.2) значения 1 СГ11 -НСГ12 эрг, получим

бЭл = 2Го/5*б * Ю4 v 105 К. (3.40)

Итак, благодаря принципу Паули, основное состояние обладает высокой энергией, поэтому квантовый газ электронов эффективно разогрет до

Рис. 3.8. Тепловое размытие поверхности Ферми (темными кружками обозначены электроны, светлыми дырки).

очень высоких температур вырождения бэл. Тогда при реальных температурах Т ^бэл надо ожидать существенных отклонений в статистическом поведении электронов проводимости от предсказаний классической теории. Классическое поведение их можно ожидать лишь при Т >, бэл. Однако из (3.40) и (3.33) следует, что если плотность п близка к плотности узлов решетки (~ 1022 см"3), то бэл превосходит не только температуру плавления металла, но и температуру его испарения. Поэтому во всех реальных металлах газ электронов проводимости сильно вырожден. Только при малых плотностях (например, в полупроводниках, где п< 1022 см"3) величина бэл заметно меньше 104 К и электроны проводимости можно иногда описывать по классической теории.

3.5.2. Случай низких температур (Т> 0 К, но Т<вэп)

В этом случае полезно ввести.малый безразмерный параметр

7УвЭл ~*б7УГо<1,

(3.41)

разложением в ряд по степеням которого пользуются при количественных расчетах. Прежде всего выясним качественно, как изменится вид функции л(е) и /(е) по сравнению со случаем 0 К (см. рис. 3.6 и 3.7). С ростом Т электроны будут занимать ячейки р-пространсгва вне поверхности Ферми, а под ней останутся свободные места (дырки) (рис. 3.8). Поверхность Ферми начнет ’’размываться”. Ширина слоя размытия (Де на рис. 3.8) будет относиться к радиусу сферы Ферми так же, как температура Т, обусловливающая это размытие, к величине бэл. Таким образом, при Т > 0 К на кривых п(е) и /(е) (рис. 3.6 и 3.7) в месте разрыва при е = = fo появятся очень резкие, но уже непрерывные спады, называемые ’’максвелловскими хвостами". При Т> 0 К из простого анализа формул (3.28) и (3.29) следует, что п(е) и /(е) при е ->¦ 00 всегда стремятся к -*¦ 0, а при 6=0 величины п(е) » 1 и / (е) -* 0 (если f > к Б Т). При е = f имеем ехр [(е - j)/kБ Т] = 1, и следовательно, в точке перегиба на максвелловском хвосте «(f) = 1/2 и /(f) = g (И/2- Величина f (Т) оказывается несколько меньше f0. как будет показано ниже (см. 3.69)).

126
По мере приближения Т к 0ЭЛ размытие должно возрастать, и в пределе Т >, взп кривые и(е) и /(е) превращаются в функции классической статистики. Здесь ограничимся лишь случаем сильного вырождения.

Дая решения конкретных задач, следуя Френкелю, введем плотность термически возбужденных электронов пт, находящихся в зоне размытия у поверхности Ферми. Поскольку ширина этой зоны относится к радиусу сферы Ферми как Т/вэл, то

пт « пТ/в,л. (3.42)

Функция распределения возбужденных электронов имеет вид максвелловского ’’хвоста”, поэтому к ним можно применять классическую теорию. Проиллюстрируем это на примере теплоемкости вырожденного газа электронов. Для этого в формулу Дюлонга и Пти С^кл^ = Зпкв/2 вместо плотности п подставим плотность пт по (3.42). Это даст

Си(кв) = ЗпткБ = ЗпкьТ12вэп. (3.43)

Отсюда видно, что в реальных металлах при комнатных температурах (где справедлив закон Дюлонга и Пти) отношение Т/вэл — 0,01 -г 0,001 и, следовательно, вклад электронов в теплоемкость составляет 1,0 -г 0,1% от вклада ионов. Тем самым для вырожденного газа Ферми катастрофа с теплоемкостью полностью разрешается1.

Вернемся к более строгим расчетам, рассмотрим выражение для определения химического потенциала ЦТ) и энергии ? (Г) электронного газа и укажем способ вычисления при условии (3.41). Величину f (Г) определим из (3.30)

N = C f den(e)e4f (3.44)

о

Интегрируя по частям, находим

N = -(2С/3) / dee3/2dn (е)/Эе. (3.45)

о

Для полной энергии газа также имеем

& = С 7° dee3/2n(e)= -(2С/5)/“ dees/2dnje)/de. (3.46)
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed