Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вонсовский С.В. -> "Квантовая физика твердого тела." -> 59

Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.

Вонсовский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика твердого тела. — М.: Наука, 1983. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): vonsovskiykvantovayafizika1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 164 >> Следующая


25/2 7гш*3/2 е1/2de . (3.24)

Чтобы найти #(е), нужно разделить этот объем элементарной фазовой ячейки Д рх Ар у Д pz, определяемый из соотношения неопределенностей Гейзенберга

AxAyAzApxApyApz~h3. (3.25)

Величина Д* Ау Дz в (3.25) дает точность локализации электрона в обычном пространстве. В данном случае она равна объему металла V, ибо существенно лишь, что электрон находится в нем. Тогда точность определения импульса — величина фазовой ячейки в /э-пространстве, по (3.25), равна2

Арх Ару Apz~h3/V . (3.26)

Умножая частное от деления (3.24) на (3.26) на двойку для учета спинового вырождения (в отсутствие магнитного поля и спиновых сил), будем иметь

g(e) = —— 4тг(2т*)3/2 Ке1/2 = Се1/2 . (3.27)

И

Для нахождения функции распределения /(е) электронов по состояниям с различными е надо степень вырождения (плотность состояний) умножить на статистическую величину — среднее от числа заполнения состояний с различными е — п(е) . Эта величина в квантовой статистике Ферми - Дирака равна

п(е) = [схр((е - $)1къТ)+ 1] , (3.28)

где ?(Т) — химический потенциал электронного газа. Таким образом, функция /(е) при квадратичном законе дисперсии (3.23) имеет вид

f(e)=g(e)n(e) = 4n(2m*)312 X

X К/Г3 ехр [((е-0/*БГ>+ U _1 е1/2. (3.29)

Химический потенциал f (7) определяется из условия постоянства полного

1 Frolich Н. - Physica, 1937, v.6, p. 406.

1 Такой вывод объема элементарной ячейки фазового пространства не может гаран-

тировать правильных численных коэффициентов, однако прямой подсчет числа

состояний, как в гл. 2, приведет в точности к (3.27).

123
числа частиц

N=°S}(e)de. (3.30)

о

В отличие от классической статистики, уравнение (3.30) является интегральным и в общем случае не решается. Поэтому ниже рассматриваются предельные случаи, не требующие привлечения сложного математического аппарата.

3.5.1. Случай Т = 0 К

Это основное состояние газа с наинизшей энергией. В классической статистике при этом все электроны собрались бы в ячейке /^-пространства с е =0.Однако в статистике Ферми - Дирака это запрещено принципом Паули, и электроны лишь наиболее плотно заполнят ячейки р-пространства вокруг точки е = 0, чтобы их суммарная энергия ? была минимальной. Заполненный таким образом электронами объем при квадратичном законе дисперсии (3.23) имеет вид сферы с иэоэнергетической сферической поверхностью, называемой поверхностью Ферми (при произвольном законе дисперсии форма поверхности может сколько угодно отличаться от сферы) и с максимальной граничной энергией е0шах - энергией Ферми еф. Величина €ф определяется плотностью электронов

n = N/V. (3.31)

Действительно, объем сферы Ферми, занятый N электронами по два в ячейке (3.26) из-за спинового вырождения, равен (4тг/3)ротах, ГДС Рошас- наибольшая величина импульса электрона при Г = 0К - импульс Ферми рф. Частное от деления этого объема на объем ячейки (3.26) равно

4ттУрЦЗИ3 =N/2.

В силу (3.31) и (3.32), получим

Рф = И (Зп1&тт)Ч3= h (Зтг2л)|/3 кф =Рф/Ь= (Зтт2п)1/3 .

?ф = pl!2m* = (И212m*) (Зн/8тг)2/3= (h2/2w*) (Зтг2 л)2/3

ИЛИ

и = (8,г/3)(рф/Л)3 = (8тг/3) [(2т*)3/2/*3] еф3/; и для скорости Ферми иф

иФ =Рф!>п* =(Л/т*)(Зи/8я)1/3=(Ь/ш*)(Зя2и)1/3.

(3.32)

(3.33)

(3.34)

(3.35)

Таблица 3.2

Численные значения скорости иф, импульса рф н энергии еф = f0 на поверхностях Ферми нормальных одновалентных металлов

Элементы Li Na К Си Ag Аи
иф, см • С’ • 1 СГ * 1,28 1,04 0,84 1.58 1.31 1,39
Рф, г-см • с 1 • 10' 1,17 0,95 0,77 1,44 1,20 1,27
ЕФ = fo- ' 10' ’ 7,6 5,0 3,3 11,37 8,84 8,9
Сф = ?0 4,74 3,16 2,06 7,10 5,52 5,56
124
относится к случаю Т = 0).

Рис. 3.7. Функция распределения /(с) электронов в металле по энергиям (штриховая линия относится к случаю Т= 0).

Если для п взять значение ~1022 см"3, то для е® получим величину ~ ~ 1 10 эВ (или 10“'2 10“'3 эрг) и для иф - величину 10" см/с.

В табл. 3.2 приведены значения иф,рф и бф, вычисленные для ряда металлов, откуда видно, что в фермиевском газе уже при 0 К имеются частицы

с огромными скоростями и энергиями. _____

Выясним вид функции п(е) и /(е) при 0 К. Из (3.28) видно, что п(е) будет существенно зависеть от знака разности е - f0> гДе ?о — значение f (Г) при 0 К.

При e<fo lim ехр [(е - =0 и п0(е)= 1,

т^о

при е> f0 lim ехр [(е - $0)1кБТ] = °° и по(е) = 0.

г—о

Таким образом, при е = f0 показатель степени у ехр [(е — ?о)ДбЛ меняет знак и «о (е) скачком изменяется от 1 до 0 (см. рис. 3.6). Разрывную кривую п0 (е) назьтают ступенькой Ферми. Отсюда ясно, что химический потенциал при 0 К совпадает с энергией Ферми
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed