Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
ПОЛИ
пот ~
(3.18)
При конденсации пара полная отрицательная энергия связи увеличивается по абсолютной величине на скрытую теплоту возгонки Irj I:
По (3.18) на такую же величину возрастает | &кин|крист- Порядок величины этого возрастания на атом оцениваем так: величина Irjl, на моль металла порядка 20—40 ккал/моль • К, на один атом имеем I ту\/МА и получаем ~ 1 эВ. Кинетическая энергия валентного электрона в атоме равна 7 эВ. Отсюда и следует, что скорость блуждающих электронов на ~ 15% выше, чем скорость валентного электрона атома, т.е. тоже ~ 10® см/с, как
это уже принималось при расчете / в табл. 3.1.
Важнейший результат теории Френкеля — ликвидация ’’катастрофы” с теплоемкостью. Блуждающие электроны уже при рождении и при 0 К оказываются эффективно нагретыми до 104 — 105 К, и поэтому нагрев металла до ~ 300 (С меняет их энергию всего лишь на несколько процентов. Эти электроны не участвуют активно в тепловом движении внутри металла и не влияют заметно на его теплоемкость. При Т> вD металлы, как и диэлектрики, подчиняются закону Дюлонга и Пти, а при Т<вп - закону Дебая, кроме самых низких температур (см. ниже).
Исходя из картины блуждающих электронов, Френкель вывел все формулы теории Друде. В силу взаимодействия, движения блуждающих электронов связаны — место, освобождаемое одним из них, замещается другим, так что их плотность остается постоянной. Однако Френкель не рассматривал многоэлектронную задачу и заменил ее одноэлектронным приближением, рассматривая траекторию движения одного электрона по гигантской молекуле — кристаллу в виде одной квантованной орбиты, что справедливо лишь при 0 К. Нарушения правильности решетки, например из-за тепловых колебаний при Т > 0 К, ’’ломают” орбиту блуждающего электрона на участки, в среднем дающие свободный пробег / . Причиной конечности
о и к и являются нарушения идеальности кристалла. Френкелю удалось получить правильную зависимость а(Т) при высоких Т и правильную оценку величины а (105 Ом-1 см-1). При этом, в отличие от теории Друде, влияние поля сводится, в основном, к изменению вероятности элементарных перемещений по различным направлениям, а не к появлению добавочной скорости на длине свободного пробега.
Основная идея Френкеля о том, что скорости электронов в металлах порядка внутриатомных, полностью сохраняет свое значение. Более точное и полное количественное описание свойств металлов дано в модели квантового газа Ферми - Дирака.
(3.19)
121
§ 3.5. Применение квантовой статистики Ферми — Дирака к газу электронов проводимости
Рассмотрим систему N электронов проводимости как свободный газ. Это означает, что электроны двигаются внутри металла — потенциального ящика (см. рис. 3.4) с прямоугольным потенциальным барьером (точный вид барьера пока нам не важен). Тогда движение электрона определяется уравнением Шредингера
Аф(г) +
(e + U) Иг) = О
(3.20)
и граничными условиями на поверхности металла. Задача будет решаться в нерелятивистском приближении, поэтому в (3.20) спин не входит, но само существование спина, как это отмечалось выше, надо учитывать для правильного решения многоэлектронной задачи (см. ниже). Волновая функция электрона с импульсом р и спиновым квантовым числом а (равным ± 1/2) зависит от пространственных координат г (х, у, z) и проекции спина s. Из (3.20) (при U= const) зависимость волновой функции от координат имеет вид плоской волны ехр i к г, где к — волновой вектор, связанный с р соотношением
h к=р. (3.21)
Координатная функция умножается на спиновую ya(s) (ВИД ее здесь не важен) , и полная волновая функция имеет вид
Фка(г, s) = aexp(ikr)va(s), (3.22)
где а — нормировочный фактор. Энергетический спектр в данном случае имеет вид квадратичного закона дисперсии
е =р212т*=т*^Ц\ (3.23)
звездочка у массы т* указывает, что априори масса электрона проводимости может отличаться от массы свободного электрона (фермиевская квазичастица). Наша задача обладает квазинепрерьшным спектром энергии. Импульс р изменяется квазинепрерывно, ибо kx = itkx/Lx, ку = Tiky/Ly, kz = 7tkz/?z, где Lx, Ly, Lz — ребра потенциального ящика, равные произве-дению./У1/3 d, акх, ку,к2 = 0, ± 1, ± 2,.. . (см. по аналогии определение вектора q в (2.14)и (2.15)). В конечном кристалле спектр (2.23) дискретный. Однако при размерах тела, больших по сравнению с параметром
Рис. 3.4. Прямоугольный потенциальный ящик для электронов в металле. Рис. 3.5. К расчету степени вырождения фермиевского газа g(e).
122
решетки (L > d), расстояния между соседними уровнями очень малы и спектр практически непрерывен. Отклонения будут наблюдаться для очень мелких частиц1, когда L >, cl.
Данная задача также обладает высокой степенью вырождения: каждому значению энергии е .зависящей от модуля вектора р по (3.23), отвечает множество волновых функций (3.22), зависящих и от направления вектора р. Поэтому сначала надо определить степень вырождения g(e). Для этого подсчитаем число состояний, в которых электроны обладают значением импульса в пределах от р до р + dp при всех возможных направлениях вектора р. Этим состояниям в р-пространстве соответствует совокупность фазовых точек, заполняющих шаровой слой объема 4пр2 dp (рис. 3.5), который, в силу (3.23), равен
