Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
о= (e2/2m)(nl/и). (3.15)
Из кинетической теории газов известно, что и ~ Г1/2. С другой стороны опыт давал, что при комнатной температуре о ~ Т~1. Поэтому приходилось предполагать, что в (3.15) пТ ~ 7”'^ (поскольку множитель с2/2т не зависит от Т). Такую зависимость трудно понять в рамках классической
теории. В кинетической теории газов / определяется как обратная величина поперечного сечения рассеяния от всех N препятствий, встречающихся движущейся частице в единице объема, т.е. I ~(irNR2 f1 (R — эффективный радиус поперечного сечения рассеяния). Таким образом, если пренебречь температурной зависимостью R, то / вообще не зависит от Т. Что касается плотности электронов п, тсц как отмечалось выше, трудно представить, что она меняется с изменением Т и тем более уменьшается. Еще больше трудностей встретилось при попытках объяснить зависимость а(Т) при низких температурах (где о ~ Ts) . Подобные же трудности возникают при попытках объяснить зависимость к (Г).
Непонятными также были большие значения г и / соответственно по сравнению с атомными временами и параметром решетки. Естественней
казалось ожидать, что в кристалле значение / должно быть порядка постоянной решетки d ~ 1СГ8 см.
Самый сокрушительный удар теория получила в связи с так называемой ”катастрофой” с теплоемкостью. По классической статистике электроны проводимости должны участвовать в тепловом движении наравне с ионами. Это сразу же должно было сказаться на величине теплоемкости. Поскольку на одну степень свободы приходится энергия кБ Т/2, то средняя энергия свободного электрона проводимости равна Зкъ Т/2. Принимая,что плотность электронного газа равна плотности узлов решетки, для атомной теплоемкости металла получаем
Смет = Среш + Сэл = 3R + 3R/2 ^9 ккал/моль • К, (3.16)
It?
т.е. на 50% большее значение, чем дает закон Дюлонга и Пти (2.58). При этом точность измерения гарантирует максимальную ошибку не больше 1%. Поэтому, если считать, что вклад электронов в теплоемкость очень мал из-за малости их числа, то надо положить, что их плотность составляет не более 1% от плотности узлов решетки. Но тогда в выражениях (3.4) и
(3.13) пришлось бы соответственно увеличить значения г или/, которые и без этого оказывались аномально велики с точки зрения классических представлений.
Исторически ’’катастрофа” с теплоемкостью была тяжелым испытанием для всей электронной теории металлов. Существенно, что она связана не с частными модельными упрощениями, а вытекает из принципиальных положений классической статистики. Лоренц и другие пытались ’’починить” модель Друде путем более точного статистического вывода приведенных формул. Но это не помогло. Нужна была не штопка отдельных ’’прорех” теории, а радикальное изменение самих ее основ.
§ 3.4. Теория ’’блуждающих” электронов по Френкелю
Первая работа, в которой был сделан шаг к реабилитации теории Друде, принадлежит Френкелю1 (1924). Он исходил из боровской модели атома. Металлический пар в нормальном состоянии — это совокупность нейтральных атомов, испытывающих относительно редкие столкновения; электронов проводимости в паре нет. Однако наружные (валентные) электроны в атомах металла связаны с ионными остовами слабее, чем в атомах диэлектриков. По представлениям Бора орбита валентного электрона атома металла имеет форму вытянутого эллипса. При сближении атомов в процессе конденсации средние расстояния соседних атомов становятся порядка или даже меньше, чем диаметр ’’орбит” валентных электронов. Поэтому они не остаются прочно связанными с определенным остовом. Появляется большая вероятность перехода от одного остова к соседнему и т.д.
Таким образом, валентные электроны при конденсации пара превращаются в ’’блуждающие” по металлу, которые Френкель и отождествил с электронами проводимости. Он предположил, что каждый из них, освобождаясь от ’’индивидуальной” опеки отдельного остова, сильнее связывается со всей решеткой (здесь он впервые правильно подошел к объяснению природы металлической связи). Далее был решен вопрос о скорости блуждающих электронов. В изолированных атомах скорость валентных электронов на орбите порядка 108 см/с. При превращении электронов в блуждающие эта скорость не уменьшается, а даже увеличивается примерно на 10 — 15%. По Френкелю, это следует из теоремы вириала классической механики2, согласно которой в системе частиц с кулоновскими силами связи имеет место соотношение
2&КИН ~ ^“ПОТ , (3-17)
где ?Кин и ?пот— соответственно, средние значения кинетической и потен-
1 Френкель Я.И, - Zs. Phys., 1924, Bd . 26, S. 117; ЖРФХО: Сер.фиэ., 1924,т. 56, с. 505.
2 См. Ландау Л Л., Лифшиц Е.М. Механика. - М.: Наука, 1973.
120
циальной энергии системы. Полная энергия ?Полн равна
^полн “ ^“кин * &пот ^КИН-
