Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
7=тиат, (3.5)
получим значения для I во второй строке табл. 3.1. Отсюда видно, что при
обычных температурах I ~ 1СГ6 см, т.е. в сотни раз больше параметра решетки металла. При 7’=4,2 К I становится макроскопической величиной. Это еще раз указывает на то, что электроны проводимости делокализо-ваны.
Перейдем теперь к выводу по модели Друде закона Джоуля — Ленца, согласно которому мощность Q, выделяемая в единице объема проводника за единицу времени при протекании по нему тока под действием поля Е, равна
Q= оЕ2 , (3.6)
где о - та же величина, которая входит в закон Ома (3.3). Выше уже отмечалось, что вся добавочная энергия А&Е, приобретенная электроном в поле Е за время т , отдается решетке. Направляя поле Е вдоль осих, получаем
, 1
.(О*
где ид* - (i>oi > vo‘y . uol) ~ равновесная скорость / го электрона при Е = 0; сумма берется по всем электронам в единице объема. После элементарных преобразований находим
А&Е=еЕт S Uo'x + пе2т2Е '/2т,
i
и, так как в силу хаотичности теплового движения Г VqI =0, находим для мощности в единицу времени '
Q = А&е/т = пе2тЕ2/2т = оЕ2. (3.7)
Здесь получен вывод закона Джоуля — Ленца (3.6) с электропроводностью о, точно совпадающей с ранее полученным значением (3.4). Таким образом, в модели Друде имеется взаимная согласованность между выводом
117
Рис. 3.3. К расчету удельной теплопроводности по теории Друде
закона Ома (3.3) и предположением о полной передаче накопленной электронами в поле энергии решетке металла.
Наибольшего успеха модель Друде достигла при выводе соотношения Ви-демана - Франца (1853), согласно которому отношение теплопроводности к к электропроводности а для многих металлов является универсальной линейной функцией температуры
к/а = LT, (3.8)
где L — число Лоренца, численно равное
элемент
L, 10" Вт Ом/К1
Li
2,21
Ag
2,31
Pt
2,51
Zn
2,31
Au
2,35
Cu
2,23
Mo
2,61
Для вывода (3.8) надо вычислить коэффициент к, входящий в уравнение переноса тепла W при наличии градиента температуры V7\ Ограничимся случаем, когда Т зависит от одной координаты х, тогда
W= кЬТ/Ъх (3.9)
Если принять, что носителями тепла в металлах являются в основном электроны проводимости, то надо подсчитать число частиц, проходящих через единичное поперечное сечение проводника SA с координатой х
п
(см. рис. 3.3) за единицу времени. Оно равно — | vx |, где | vx | - модуль средней скорости электрона вдоль оси х. Обозначим через SB и Sc соответственно сечения на расстоянии ±/ вдоль оси х от сечения SА, на которых электроны в среднем испытали последнее столкновение с решеткой, прежде чем они достигли сечения SA . Здесь опять строгий статистический расчет заменяется использованием средних значений длин свободного пробега. Из кинетической теории известно, что /= 27и/3. Таким образом, суммарная энергия, переносимая электронами через SA (слева направо), равна
W= lAn\ vx \[(mv2/2)х_1 — (mv2/2)x + i]. (3.10)
На основании закона равномерного распределения энергии по степеням свободы, который считаем справедливым и для электронов проводимости, можно записать
'2
m v
2
3/2 *Б Т(х) .
(3.11)
Из (3.10), используя (3.11) с точностью до малых величин порядка /, находим
W&'A пкБ v т
- ЬТ
дх
(3.12)
118
Здесь мы получим теоретический вывод закона (3.9) и выражение для удельной теплопроводности
к=пкъи2т 12 = 3к2ъ пт Т/2т, (3.13)
где опять принято, что v2 = 3къ Т/т по (3.11). Из (3.13) видно, что к,
как и а в (3.4), зависит от величин т,пнт в одной и той же комбинации. Поэтому в отношении к/а эти величины выпадают и
к/а = 3(к ъ/е? Т * 2,24 ¦ 1(Г8 Вт Ом К'2 Г. (3.14)
Таким образом, теория Друде дала обоснование опытного соотношения Видемана — Франца не только с качественной, но и с количественной стороны: величины чисел Лоренца из (3.8) и (3.14) оказались очень близкими. Вывод (3.14) был триумфом теории Друде. Однако более тщательные опыты на большом числе металлов и в более широком интервале Т показали, что соотношение (3.8) носит приближенный характер, а в ряде случаев не выполняется. Это указывает на приближенность теории.
Рассмотрим основные трудности теории Друде. Прежде всего остановимся на вопросе о зависимости о(Т). По (3.5) аиз (3.4) примет вид
