Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
2.4.3. Теплопроводность ионной решетки
В гармоническом приближении гамильтониан кристалла сводится к гамильтониану идеального бозе-газа фононов (с химическим потенциалом, равным нулю). Как и во всяком идеальном газе, здесь невозможно установление термодинамического равновесия: необходимо, чтобы фононы могли обмениваться энергией и импульсом друг с другом или с какими-то 86
внешними рассеивателями. В идеальном кристалле единственный механизм, обеспечивающий нормальное термодинамическое и кинетическое поведение — столкновения фононов, а также процессы слияния двух фононов в один и т.п. (в отличие от обычного газа, число фононов не сохраняется), т.е. эффекты энгармонизма.
Если мы сообщим кристаллу в какой-то точке некоторое количество тепловой энергии, эти процессы обеспечат ее перераспределение между фононами и возникновение упорядоченного потока тепла. Мсжфононные взаимодействия, однако, не изменяют полного импульса фононной системы и не приведут сами по себе к выравниванию созданного градиента температур, т.е. к конечной величине теплопроводности. Для этого необходимо, чтобы фононный поток затормозился какими-то внешними силами; его импульс может быть передан только решетке идеального кристалла как целому. Можно показать, что решетке можно передать, в силу ее трансляционной инвариантности, не любой импульс, а только равный некоторому вектору обратной решетки, умноженному на постоянную Планка (так же, как и при рассеянии рентгеновских лучей, см. § 1.5). Процессы меж-фононных взаимодействий, сопровождающиеся такой ’’потерей” импульса, называются процессами переброса (Р. Пайерлс, 1929). Детальное рассмотрение фононной теплопроводности см. в цитированной выше монографии Пайерлса.
§ 2.5. Локализация фононов на точечных дефектах
До сих пор мы рассматривали колебания идеальной решетки. В реальных кристаллах всегда существуют разного рода несовершенства структуры (дефекты) — точечные, линейные и плоские. Даже если удастся вырастить совершенно идеальный кристалл любого природного химически чистого вещества, он будет содержать ионы различных изотопов одного элемента, практически не отличающиеся по электронным свойствам, но имеющие разную массу. (Кроме того, даже в этом случае кристалл конечен по размерам и его внешняя поверхность будет также являться ’’дефектом”, влиянием которого мы здесь пренебрегаем). Рассмотрение этого простейшего случая точечного дефекта позволит уяснить некоторые общие свойства спектра колебаний реального кристалла1.
Итак, рассмотрим решетку, построенную из ионов массы т, в которой в узел 0 помещен ион изотопа массы ш(1+Д). Потенциальная энергия взаимодействия ионов определяется их зарядом и электронными свойствами и поэтому почти одинакова для всех изотопов данного элемента. Для простоты будем рассматривать решетку без базиса, т.е. содержащую один ион на элементарную ячейку и, следовательно, обладающую только акустическими ветвями колебаний. Наконец, для максимального упрощения задачи ограничимся рассмотрением одномерного случая. Тогда уравнения для смещений и, примут вид (см. (2.9))
т( 1 + Д5/ 0) и, = - а(2и, ul + d и, d) (2.93)
(5/ о — символ Кронскера). Ищем решения, зависящие от времени в виде
1 Впервые аналогичная задача была рассмотрена И.М. Лифшицсм (1947) .
87
иi (t) = ехр(-/'со/)м/. Кроме того, и, будем рассматривать как набор коэффициентов Фурье некоторой функции U(q), заданной в интервале (—я/с/,
*А0: v/d
U(q) = Eu,exp(iql), и, = — f dq U(q) exp (- iqt). (2.94)
/ 2v -n/d
Умножим уравнение (2.93) почленно на ехр(/<7/) и вычислим сумму по /. Мы получим
dA *ld
т Z (1 + Дй/ 0) и/ ехр (/<7/) = - ты
I
-а 1,(2и, - u,+d - и, d) ехр (iqt)-
I
W+—f dqU(q) 2я -ir/d
(2.95а)
= -а ? [2 - ехр (iqd) - ехр (- iqd)]ut ехр (/<7/) = - mojq U(q) (2.956)
(см. (2.12)). Приравнивая (2.95 а) к (2.95 б), находим / сo2dA \ ”/d
(ы2 - ы2 ) U(q) = —— ) / dq U(q). (2.96)
\ 2я / тт/d
Рассмотрим два случая:
’/ dqU(q) = 0. (2.97)
- tijd
_ 4а qd
Тогда U(q) Ф 0, только если со= со, = — sin2 -----------. При со > 4а/т таких
т 2
решений вообще нет, а при со2 <4а/т решений два: q = ±q0, q0 = = (2Id) arcsin [(wco2 /4a)1I2 j. Из условия (2.97) получаем
U(q)=A[b(q + q0) - 5(«7 - </0)] , (2.98)
где/1 — произвольная константа, 5(q) — 5-функция Дирака.
Как ясно из п. 2.2.1 (формула (2.12)), наличие дефекта при условии (2.97) никак не изменяет спектр этих колебаний по сравнению с идеальной решеткой. Пусть теперь в отличие от (2.97)
