Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
k Т
-у— X =Bs(x) , (5.265)
2 JzS
которое имеет нетривиальные решения х Ф 0 при выполнении условия
1 < 2JzS2 Bs(0)lkbT= 2JzS(S +1 ) / ЗкБТ (5.266)
(рис. 5.16), или
Т<ТС= 2JzS(S + 1)/3&Б . (5.267)
Кроме того, существует решение х = 0,т.е. < S ) = 0, однако оно не дает минимума энергии, равной, согласно (5.259),
<ib=-2zJN{S)2 . (5.268)
Итак, при температурах, меньших некоторой (называемой точкой Кюри 7с), в системе существует спонтанная намагниченность:
M = gnB(S) (5.269)
(где g — ^-фактор), исчезающая при высоких температурах. Это фазовый переход второго рода ферромагнетик - парамагнетик.
Вычислим магнитную восприимчивость х при Т > Тс. Во внешнем магнитном поле А к гамильтониану добавится член
<&h = -gitBh 2 S,-, (5.270)
I
326
Рис. 5.15. График функции Бриллюэна (5.264) для различных значений спина S.
Рис. 5.16. Графическое решение уравнения (5.265) : 1 -правая часть уравнения (5.265), 2 - левая часть уравнения (5.265) при Т < Тс, 3 левая часть уравнения (5.265) при Т>ТС.
при этом в (5.263) надо заменить х -*¦ х +у , где
y=gfiEhS/kET = yn (5.271)
(мы учли, что (S > || Л = hrt). Тогда
x=(2JzS2/kbT)Bs(x+y)~
*(2JzS2/kB Т) B's(0)(jf +у)= ТСТ-1 (х + у),
х=у(Т/Тс- I)'1, (5.272)
так как в достаточно слабых полях х, у < 1 и можно положить Bs (х + у) ~ + У).
Для намагниченности получаем, с учетом (5.262), (5.267) и (5.271), M = giib <S) = gfibkBTx/JzS= (мИб T/J:S)y (Т/ Тс— 1 )”* =
= g2^BS(S+\)hl3kB(T- Тс) (5.273)
или
X = sVb(S(S+ 1)13кБ(Т- Тс) (5.274)
— закон Кюри - Вейсса. При Т ->ТС х расходится.
Приближение самосогласованного поля в целом неплохо описывает свойства модели Гайзенберга. Отказываясь от детального рассмотрения взаимодействия спинов, оно, однако, не учитывает корреляций в их направлениях и их движении, которая особенно существенна, во-первых, вблизи точки Кюри и, во-вторых, при низких температурах. Проблема учета спиновых корреляций вблизи Тс относится к теории фазовых переходов. Специфика твердого тела и квантовый характер спинов при этом не проявляются (в силу очень глубоких и тонких причин), так что на этом вопросе мы не будем останавливаться, отсылая читателя к литературе по статистической физике и теории фазовых переходов. Что касается скоррелированности движения спинов при Т < Тс, то она допускает исчерпывающее описание на языке элементарных возбуждений (квазичастиц) — спиновых волн. Этот вопрос мы сейчас и рассмотрим.
327
л л
Введем, как обычно делается в квантовой механике, операторы Sf = = Sf ± iSf, удовлетворяющие перестановочным соотношениям
[Sf,Sf ] _ = 2Sf 5,у, [V, 5/] _ = ± sf 5,у , (5.275)
которые легко вывести из исходных соотношений для компонент спина:
[Sf. S;'] _ = iSfS„, [Si',Sf] _= iS,xSlh
[Sr,Sjx\_=iSi>Si/. (5.276)
л Л
Оператор Sf увеличивает, a S, — уменьшает проекцию спина на узле / на единицу.
Рассмотрим состояние с одним перевернутым спином:
ф = 2c(i)Sf | 0 >, (5.277)
/
где | 0 > — основное состояние ферромагнетика (проекция спина на каждом узле S). Уравнение движения для оператора Sf имеет вид
л
'h —*- = [$,-,?]-= - 2 Ч* I Sr,Sj Sk] . (5.278)
at jk
Вычислим коммутатор в (5.278) с учетом соотношений
SjSk = ^ (Sf Sk- + Sf Sk+) + Sf Sk2 (5.279)
C + B[A,C] _ . (5.280)
В результате получаем из (5.279), (5.280) и (5.275)
[Sf, S, S*] = [Sf, 5У] Sk + S, [Sf, Sk ] =
1 Л Л Л Л л А 1 А Л Л ЛчЛЛ
= - [Sf, S/] Sk“ + [Sf , S/] Sf’ + - Sf [S, , Sf ] + Sf [Sf, Sk2] =
= - 5jj Sf Sf + 5,y SfSf - 5,k SfSf + 8ikSfS~ =
= - 5;/ Sk-(S,Z - 6,k) + 5,y Sf V - S/k Sf S/ + 5(kSf (S/ - 5,7). (5.281)
Л
Действуя на состояние 10 > , оператор S,z дает число S при любом значении / . Кроме того, нас интересует лишь случай j Ф к. Тогда
ilSf~ Л А
ih -— | 0 > = S 2' У/к [6,7(Sf - Sk“ ) | 0 > + dt jk
