Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вонсовский С.В. -> "Квантовая физика твердого тела." -> 121

Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.

Вонсовский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика твердого тела. — М.: Наука, 1983. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): vonsovskiykvantovayafizika1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 164 >> Следующая


247
упражнения): для ПК

?д (Аг) = ?м (0) + 20м1 (cos kxd + cos kyd + cos kzd), (4.275)

для ГЦК

(Аг) = (0) + 4|3Ml (cos kx d cos kyd +

+ cos J cos kz d + cos d cos kz d), (4.276)

для ОЦК

?м (Аг) = ?м (0) + 80Ml cos (fc* d/7) cos (^ d/2) cos (kz d/2). (4.277)

Здесь d - расстояние между ближайшими соседями в решетке. Из (4.277)

следует, что ширина полосы в приближении ближайших соседей с координационным числом z равна.

Д?д = 2z |0м1 |. (4.278)

Как следует из (4.135), зонная энергия точно представима в виде (4.272), если под Р понимать некоторые неопределенные параметры. Можно ввести и соответствующие волновые функции, аналогичные <рм (г), так, чтобы выполнялось условие

ф/et (r) = N~1l2 2 (г) ехр (/&/?„), (4.279)

П

где Iрк { (г) — точная блоховская функция. Функции <рп $ (г) называются функциями Ваннье. В случае узких зон они напоминают атомные функции и, во всяком случае, имеют максимум на л-м узле. Для того чтобы найти явный вид f (г), умножим (4.279) на N~1^2 ехр (— ikRm) и проинтегрируем по к по зоне Бриллюэна. Воспользовавшись (4.226), получим

N-1'2 ? фк{ (r)exp(-ikRm) = N~l 2 *„,(,) X

к п

X 2 ехр [ik (Rn - /?„,)] = 2 уп((г) Ьпт = (г). (4.280)

к п

В отличие от функций \ц(г - Rm) функции Ваннье строго ортонормированы:

I drv*ms(r)ym-i-(r)=N~1 2 / dr ¦ ф*к((г) фк'^ (г) X П кк п

X ехр (ikRm -ik'Rm -) =

= iV_1 2 ехр / (kRm -k'Rm')bkk'8^' = kk

= 2 exp ik (Rm - Rm0 =

к

= 5 (4.281)

блоховские функции здесь и далее считаются нормированными на ячейку

I dr ф*кf (г) фк'{- (г) = 5**'%'- (4.282)

п

Функции Ваннье используются при рассмотрении квазиклассической динамики электрона, локализованных состояний, некоторых магнитных явлений и т.д.

248
4.5.4. Метод ОПВ ортогонализованных плоских волн.

Псевдопотенциал

Выше отмечалось, что метод J1KA0 практически неприменим для описания состояний электронов проводимости в металлах. Казалось бы, для этой цели гораздо лучше подходит метод плоских волн, в котором в качестве функций базиса выбираются

Хц (k,r) = ехр [/(Л + b*gfi)r]/у/Ро. (4.283)

Функции Хц (к, г) удовлетворяют условиям (4.261). Разложение по набору (4.283) использовалось в (4.128). Оно удобно для доказательства различных свойств функций Блоха, но практически неприемлемо для реальных расчетов из-за очень плохой сходимости метода (нужно брать очень много функций в разложении (г), чтобы получить разумные результаты). Дело в том, что прежде чем мы доберемся до состояний электронов проводимости, надо воспроизвести более низко лежащие по энергии остовные состояния фс (к, г), которые совершенно не похожи на плоские волны. Их гораздо удобнее искать по методу J1KAO. К. Херринг (1940) предложил в качестве базиса разложения использовать ортогонализованные плоские волны (ОПВ)

*Ц (к, Г) = Хц (к, Г) - 2 фс (к, г)- / dr ф* (к, г') Хц (к, г'), (4.284)

с П

удовлетворяющие (4.261) и, кроме того, ортогональные всем остовным состояниям (какие именно состояния включать в остовные, в каком-то смысле вопрос удобства):

S dr >Р*ц (к, г) фс (к, г) = 0; (4.285)

п

(4.285) следует непосредственно из (4.284) и из ортонормированности остовных состояний.

При разложении по функциям (4.284) остовные состояния исключаются, и мы сразу ищем состояния электронов проводимости, которые уже хорошо описываются линейной комбинацией небольшого числа ОПВ. Сходимость резко улучшается.

Метод ОПВ означает нечно большее, чем просто удачный вычислительный прием. Он привел к появлению в физике твердого тела концепции псевдопотенциала, оказавшей огромное влияние на всю теорию твердого тела 1.

Основная идея метода псевдопотенциала заключается в следующем. Во многих случаях нас интересует небольшой участок энергетического спектра вблизи энергии Ферми; только такие состояния определяют термодинамику металла, его кинетические свойства на не слишком высоких частотах, фононные спектры и т.п. (но, естественно, не оптические и рентгеновские спектры). Можно подобрать такой эффективный гамильтониан, у которого этот участок спектра совпадает с точным, а остальные нет (например, выб-

1 См. Хейне В., Коэн М., Уэйр Д. Теория псевдопотенциала: Пер. с англ./Под ред.

В. JI. Бонч-Бруевича. - М.: Мир, 1973; цитированную в 4.5.1 монографию Харрисона У., а также обзор: ЗайманДж. Вычисление блоховских функций: Пер. с англ. / Под ред. М. И. Каганова. - М.: Мир, 1973, где дается глубокое обсуждение расчетных методов, затронутых нами по необходимости очень кратко.
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed