Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Е(к+ 2nq) = (h2 /2md2) (к + 2nq )2 ,q = 0, ±1, ±2,.. . (4.168)
Наинизшая зона по значениям Е соответствует q = 0. Вторая зона, по
(4.168), состоит из состояний с -i<K0 и 1, 0 <А:<я nq=~ 1 и т.д. (рис. 4.20). Соответствующие этим зонам энергетические полосы представляют собой отрезки параболы. Этот метод называют моделью ”пустой решетки" (Шубин С., 1935; В. Шокли, 1937). На графике ясно видно особое значение точек с к = 0 (исключая наинизшую) и с к = я (точки с к=—тт, как уже указывалось, не надо учитывать, а весь чертеж надо представить навернутым на цилиндр единичного радиуса). При к = 0 каждая четная зона соприкасается со следующей нечетной, а при к = я наоборот — нечетная с четной. К этому же результату приводит и уравнение (4.167),
218
которое в данном случае имеет вид к = -n(q' + q'). В силу неравенств (4.87) из этих к надо принимать во внимание только те, для которых q' + q" = 0 или q' + q" = - 1, что и видно из рис. 4.20.
Обобщим это на случай трехмерного кристалла, используя для этого зоны Бриллюэна. В случае ПК решетки роль вектора q играет величина (2тг/d) (qlt q2, qз), где qt — целые числа, а роль к играет величина (2ir/d) (кх, ку, kz), где К/ (/ = х, у, z), в силу (4.137) ограничены условиями
- 1/2 < к/ < 1/2.
Введем обозначения € = md2El2 я2 h2 ; тогда вместо (4.168) имеем
?kq =(кх +41? +(«у + Яг? +(«z +Яз)2 и для волновой функции 2т
Фкд(г) = сх р —— [(к* +qi)x + (Ky+q2)y+(Kz + q3)z]
(4.169)
(4.170)
(4.171)
(4.172)
Рассмотрим изменение е, когда к изменяется вдоль оси Д [0,0,1] (рис. 4.13, а) между точками симметрии Г(0, 0, 0) иХ(0, 0, 1/2) и текущей точкой Д(0, 0, kz). Следовательно, на этой оси имеем ег = q\ + q\ +q\, =q\ +ql +(«z +Яз? (0 <kz < 1/2), ех =q\ + q2 +(1/2 + q3)2- Подобные выражения можно легко получить для любых других точек и осей. ?m;n соответствует точке Г с q = (0, 0, 0). Кривая энергии при изменении
п ч , / 2я/ \
к: вдоль оси Д имеет вид ' = kz и фц21о = ехР I —~ Kzz J ; предельные
значения энергии ?^^=0 и 6^^= 1/4. Таким образом, наинизшая полоса в ПК решетке ширины Де*1* = 1/4 имеет вид отрезка параболы (рис.4.21). Прие^1* = 1/4 вектор q может принять и второе значение q = (0, 0,-1). Поэтому в точке е_х = 1/4, kz = 1/2 начинается вторая полоса е*2* =(1 —
. Она имеет вид следующего отрез-
2т
— <0 с =ехр — (к2-\)г
ка параболы между точками е*?) = 1/4, kz = 1/2 и f|,2* = l, kz=0 с шириной полосы Де^2) =3/4 (рис. 4.21). Верхнему концу этой параболы соответствуют еще пять значений векторов q : (0, 0, 1), (0, ±1,0) и (± 1, 0, 0). Это дает еще пять энергетических полос (отрезков параболы) :
е(д3) =(1 + к2)2 и Фк._,яъ = \ =ехр [(2m/d)(Kz + l)z]
и e|4V7)=l+K? и фКг,Ч1 =±i =ехр [(2 m/d)(±x + kzz)],
фKz,q2 = ±1 =ехр [(2m/d)(±y +Kzz)].
Фактически имеем не пять, а две полосы, одна (так же, как ие^1* и ?д2^) невырожденная (q3 = 1), а вторая ?д4”7^ четырехкратно вырожденная (q\,q2 = ±1) (рис. 4.21). Верхняя точка полосы имеет при kz =
219
Рис. 4.21. Энергетические полосы в трехмерном случае в ПК решетке в модели пустой решетки для направления в Л-пространстве вдоль оси Л от точки Г к точке X (см. также рнс. 4.13, а); индекс вверху справа в скобках у бд означает номер полосы н одновременно ее вырождение.
Рис. 4.22. Энергетические полосы в трехмерном случае в ОЦК решетке в модели пустой решетки для направления в Л-пространстве вдоль оси Л - от точки Г к точке Н (см. рнс. 4.14) (индекс вверху справа в скобках у ед - номер полосы с учетом ее вырождения).
= 1/2 энергию cj^ = 9/4, поэтому ее ширина Де^ = = 5/4.
Для полосы имеем соответственно при к2 = 1/2 = 5/4 и
ДеГ7> = 7* - ef.4^7) = 1/4. В точке Kz = ^ возможны еще че-
тыре значения д:(±1,0, — 1) и (0, ±1,-1). Соответствующая четырехкратно вырожденная полоса будет е^8~11) = 1 +(1 — к2)2 (рис. 4.21),и
^kz,4i = ±i = ехр [(2m/d)[±x + (к2 - l)z]],
Фк2,Чг = ±1 =ехр [(2ni/d)[±y + (к2 - l)z]].
Этот процесс построения полос в спектре свободных электронов можно продолжать, перебирая последовательно все возможные значения qt. В отличие от одномерного случая из рис. 4.21 видно, что только две первые полосы не перекрываются, далее имеем перекрытие, которое усложняется, если учесть другие направления изменения к.
Подобные построения можно провести и для других типов решеток, например на рис. 4.22 для ОЦК решетки для направления А между точками симметрии Г и Я. Следует также отметить, что, используя точечную симметрию, можно произвести классификацию волновых функций в некоторых точках зоны Бриллюэна (см. цитированную монографию Джонса, стр. 201).
220
Полученные результаты позволяют сделать выводы о свойствах тех иэ электронов, которые качественно похожи на свободные. Прежде всего это касается ширины их энергетических полос. Согласно (4.170), порядок величины определяется универсальным отношением h2 Imd2, т.е. ~10~12 эрг или ~1 4-10 эВ, если т считать массой свободного электрона (~10-28г). Поскольку в решетке т заменяется на эффективную массу т', которая может быть на порядок величины больше или меньше т, то и Де могут отличаться от 10 эрг на порядок в обе стороны.
