Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вонсовский С.В. -> "Квантовая физика твердого тела." -> 104

Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.

Вонсовский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика твердого тела. — М.: Наука, 1983. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): vonsovskiykvantovayafizika1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 164 >> Следующая


QV(r)=V(r). (4.155)

Каждой такой операции можно сопоставить преобразование координат

х, = 2 auxh /, / = 1,2,3, (4.156)

/

где элементы 3X3 матрицы преобразования II аII удовлетворяют условиям

2auaik = bjk. (4.157)

/

При этом уравнение Шредингера (4.132) не будет инвариантно относительно преобразования (4.156) из-за слагаемого 2i(kV)uk^(r). Для инвариантности необходимо одновременно преобразовать и волновой вектор Л.(Предоставим это доказать читателю в качестве упражнения; см. цитированную на стр. 201 монографию Джонса)

к',- = 2ацЪ. (4.158)

/

Тогда из инвариантности (4.132) следует, что в каждой зоне f Е(к, f) = = Е(к', f) или

(??(*, Г) =*’(*,П, (4.159)

т.е. в каждой зоне энергия Е(к, f) как функция к обладает полной точечной симметрией кристалла.

214
Выясним некоторые общие свойства изоэнергетических поверхностей (в том числе и фермиевских), связанные с симметрией кристалла. В частности, как функция Е(к, f), все поверхности Е(к, f) = const должны обладать полной симметрией точечной группы кристалла. Заметим также, что между преобразованиями в г-пространстве (прямая решетка) и в Л-пространстве (обратная решетка) имеется прямое соответствие. Именно. если прямая решетка обладает осями и плоскостями симметрии, то можно говорить о соответствующих им параллельных осях и плоскостях в обратной. Это можно доказать, используя определение обратной решетки как совокупности таких векторов Ьн, для которых число b^R,,— целое для любого вектора прямой решетки Rn. Но если Л^,, связанный с преобразованием (4.156), тоже принадлежит прямой решетке, a связан с bg таким же преобразованием, то, в силу условия (4.157), bgR„ = bgR„

и, следовательно, b'g принадлежит обратной решетке, что и доказывает наше утверждение.

Если в прямой решетке есть плоскость симметрии v = z, то в Л-про-странстве имеем плоскость kv = к:. Поэтому непрерывная функция Е'(к, f) симметрична относительно любой плоскости симметрии в Л-про-странстве. Отсюда следует, что на всей такой плоскости

где п — орт нормали к плоскости симметрии. Если условие (4.160) не выполняется, то по условиям симметрии VkE(k, f) испытывал бы разрыв внутри зоны Бриллюэна, чего не может быть по условиям непрерывности Е(к, f) внутри зоны. Вектор VkE нормален к изоэнергетической поверхности, по (4.160) он нормален и к нормали к плоскости симметрии, поэтому поверхности Е(к, f) = const должны пересекать плоскость симметрии под прямыми углами. Это дает возможность сделать общие высказывания о топологии изоэнергетических (в том числе и фермиевских) поверхностей внутри зоны Бриллюэна. Можно также выяснить общие закономерности поведения этих поверхностей у границ зон. Здесь следует еще раз указать на понятия соприкасающихся и пересекающихся полос энергии. На рис. 4.18, а показан ход функций Е(к, f) вдоль какой-то линии в Л-пространстве, в точке к0 имеет место вырождение, т.е. соприкосновение полос. На рис. 4.18, б изображен случай перекрывающихся полос. Здесь в некоторых областях зоны Е(к', fi) > Е(к", f2), но при каждом данном к всегда имеет место неравенство Е(к, f2) > Е(к, fi). Возможны случаи, когда полосы и соприкасаются и пересекаются одновременно.

nVkE(k, f) = 0,

(4.160)

а)

5)

Рис. 4.18. Энергетические полосы в трехмерном кристалле для двух ооседних зон Бриллюэна С, и (;,: соприкосновение (а) и пересечение (б).

0

к

к

215
Рис. 4.19. Пересечение изоэнергетических поверхностей с границами зон и плоскостями симметрии в них.

В качестве примера использования точечной симметрии рассмотрим вид изоэнергетических поверхностей при их пересечении с границами зон Бриллюэна, а также с плоскостями симметрии внутри зон. Рассмотрим две противоположные граничные поверхности зоны, нормальные к векторам 1В и —1В и делящие их пополам. Если в точечной группе кристалла имеется плоскость симметрии (/j, /2, /3), то и в зоне Бриллюэна есть таковая, проходящая через начало координат и нормальная к векторам ± IB. Поэтому, в силу симметрии, имеем

(УЕ1В)а = -фЕ1В)„, (4.161)

где а и b (рис. 4.19) — эквивалентные точки на противоположных гранях зоны, а они (см. выше) представляют одно и то же состояние электрона, поэтому (VE)a = (VE)b. Тогда из (4.161) следует, что нормальная производная от энергий на обеих гранях — нуль, т.е. изоэнергетическая поверхность пересекает эти грани под прямым углом. На рис. 4.19, а, б показаны изоэнергетические линии на плоскости к, = 0 в зоне Бриллюэна ОЦК решетки. Все эти линии пересекаются с прямыми линиями рис. 4.19, а, б (внутренними, являющимися пересечениями плоскостей симметрии внутри зоны с плоскостью кг = 0 и внешними — сторонами квадратов, являющимися пересечениями границ зоны с плоскостью kz = 0) под прямым углом, т.е. в точках пересечения VE = 0. Однако в ГЦК решетке не на всех гранях зоны Бриллюэна VZT = 0. За подробностями отсылаем читателя к цитированной монографии Джонса (см. стр. 201 этой книги).
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed