Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
+ (*2 - к'2)х(2) + (*э - Л'з)лг(3)] Mjf f (r)uk(г) =
= (2я)3 б (*', - k'i) б (к'2 к2) б (к'3 - k'i) Sdr н*Г (г) и*-Г (г),
где С - якобиан преобразования от обычных прямоугольных координат
х, v, z к х*1*, х*2\ а К0 — объем элементарного параллелепипе-
да. Из полученного выражения следует
/ drufo' (r)ukf" (r) = (2iry36ff. (4.144)
У,
; drrfrt (г) Фк"( (г) = б (*', - к") б (к'2 - к'2) б (*'з - Л'з). (4.145)
Определим теперь матричные элементы г, переписав (4.142) для
**г (г) р ехр [/ (М° > + *2х<2> + *3*(3))] uks (г),
и поэтому
,п Э ф Э и
х Фк{ (f) = - i — + / ехр (ikr) — . (4.146)
Э к/ dkj
Так же, как в одномерном случае, разбиваем оператор г на слагаемые г, иг2 и аналогично (4.97) - (4.99) получаем
(к’?' lx(')lkT) = >S'(k’-k")X
XS(k;-k")S(k^-k^)Sff, )Ф1Фт = 1,2,3, (4.147)
(k'i;' I х^ I Ac"f") = i f dr exp [/ (к" - к') г] X
x “k'f W T77 W- (4.148)
OK j
Применяя к правой части (4.148) тот же прием, что и при выводе (4.145), находим
(*Г I I к'Т) = (2л)3 б (*', - к") б (*', - к"г) б (*'3 - *3) X
В отличие от одномерного случая, (4.149), как правило, не обращается внульпри?'= f", если только ик$ (г) не обладает особыми свойствами симметрии. Заметим, что диагональные матричные элементы координат при {' = (", т.е. средние значения координат электрона в стационарном состоянии к$, не играют никакой роли в физически интересных явлениях. Матричные же элементы при f’ Ф f" указывают на межзонные переходы под влиянием постоянного и медленно меняющегося электрического поля и поэтому физически интересны. Формула (4.149) показывает, что для трехмерного случая здесь имеют место такие же жесткие правила отбора, как и в одномерной задаче, а именно, переходы возможны, когда в конечном и начальном состояниях квазиимпульсы одинаковы. Это имеет существенное значение для оптических свойств кристаллов.
Для вычисления тока электрона важен оператор г х. Его матричный элемент (4.147) имеет общий вид независимо от вида ик? (г). В векторной форме
г, =rV*. (4.150)
а (4.148) в векторной форме можно придать вид
(кТ\гг \к'Г) = (2п)3 i8(k\ X
X 5 {к'г - к'г) 5 (?3 - k'i)f druki' (r)Vk"uk"(г). (4.151)
Среднее значение скорости электрона можно найти из уравнения движения
л /лл лл I лл лл л Л лл
г = - - (rJC - JCr) = - - 1(1-1 JC - JO-i) + (r2 JC - JCr2)]. (4.152)
h h
Из предыдущего видно, что второе слагаемое правой часта (4.152) ничего не дает для среднего значения оператора г, ибо диагональные матричные элементы г 2 конечны, и поэтому
Щ I [К, г2] _ I *f> = [?' (к, f) -Е (к, Ш Щ I r2 I *f> = 0.
Таким образом, для него достаточно учитьшать первый член в (4.152). В силу (4.150) находим
<v(*,rj> = <;>(*, П =-J-V*i’(*.f)- (4.153)
п
Формула (4.153), как и (4.106), - обобщение формулы де Бройля. Из (4.153) видно, что в стационарных состояниях электрон в кристалле имеет, как правило, отличную от нуля среднюю скорость, т.е. он может свободно двигаться по кристаллу, как свободный электрон. Величина и направление (v (к, f)) определяются видом изоэнергетаческих поверхностей Е(к, f) = const.
Для оператора скорости в кристалле имеем такие же жесткие правила отбора, как и в цепочке. Матричные элементы этого оператора отличны от нуля только для к' = к". Диагональные элементы определяются по (4.153), а недиагональные, соответствующие межзонным переходам (f’ Ф О, связаны с недиагональными элементами оператора гг. Из
213
(4.151) нетрудно получить формулу
/л_\3
(*r I г I к"П = - — [?¦ (*Г) - Е (*'Г")] X
п
X 5 (*', - к'1) 5 {к'г - k”2) 5 (к'3 к"3) X
X fdruir(r)Vk'ukr(r), (4.154)
Выясним, наконец, вопрос о токе электронов на границах зоны. Волновые функции внутри зоны можно расставить по-разному, и в зависимости от способа расстановки состояния, приписываемые границе зоны будут различными. Не имея возможности подробно останавливаться на анализе этого вопроса, выскажем без доказательства следующее утверждение: для ряда реальных кристаллов, в силу их специфической симметрии, в стационарных состояниях на некоторых плоскостях ^-пространства проекция вектора тока на нормаль к этим плоскостям равна нулю. Обычно эта плоскость при том или ином способе построения зон оказывается граничной.
4.2.4. Свойства изоэнергетических поверхностей
До сих пор использовалась лишь трансляционная симметрия кристалла. Однако (см. гл. 1) имеются еще элементы симметрии — собственные и несобственные вращения и отражения, образующие точечную группу кристалла Q. Тогда, как и в случае (4.116), имеем
