Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
4.2.3. Энергетический спектр электрона
Перейдем теперь к рассмотрению спектра энергий. Всем состояниям зоны соответствует квазинепрерывная (для конечного кристалла) полоса энергий конечной ширины, поскольку все параметры, определяющие состояние внутри зоны, непрерывны. В отличие от одномерного случая этим исчерпывается все, что дает точная теория. В одномерном случае разделение состояний на зоны соответствует однозначному разделению и уровней энергии. Между двумя полосами соседних зон обязательно лежит щель. В трехмерном случае это возможно, но не обязательно.
Возьмем кривые энергии Е(к) для значений к вдоль трех прямых, проходящих через начало координат в ^-пространстве в трех каких-то направлениях а, Ъ и с для двух соседних зон f х и f 2 ¦ Пусть эти линии пересекаются с границами зон соответственно в точках ка, kh и кс. На этих границах для каждого направления а, Ъ и с всегда имеются энергетические щели: ЕI, ка) < Е(f2, ка) и т. д. Для разных же направлений а и b или b и с имеют место иные, соотношения для энергий: так, высшая точка
1 (Ъ) энергии Е($j, кь) первой зоны расположена выше, чем низшая точка 2(a) энергии Е($г, ка), относящейся ко второй зоне. Точно так же для точек кс первой зоны 1 (с) и второй зоны 2 (Ь) и т. д. Это энергетический спектр металла с перекрывающимися полосами соседних зон (рис. 4.17, а).
Возможны, конечно, и случаи, когда энергетические щели имеются для всех направлений в ^-пространстве. На рис. 4.17, б изображена именно
Зона Джонса является наименьшей областью к -пространства, ограниченной плоскостями, на которых энергия терпит разрыв. Эта зона, в отличие от зон Бриллюэна, со-
3-------------------------------------------------------------/а \ 2 Г 1 /д\=1 держит дробное число электронных состояний на атом: п = 2------~ 1----1—) ¦
Л \ с/ L 4 \ с) J
210
Рис. 4.17. Относительное расположение перекрывающихся энергетических полос в трехмерном кристалле металла (а); то же для изолятора или полупроводника с энергетическими щелями (б).
такая картина, когда для всех трех выбранных направлений а, b и с (и остальных) перекрытий соседних энергетических полос нет. Это случай полупроводника или изолятора.
В литературе зоной часто называют совокупность не электронных состояний, а соответствующих им уровней энергии. Поэтому говорят не
о перекрытии полос энергий разных зон, а просто о ’’перекрытии зон”. Такое употребление термина зона может привести к тому, что он приобретает некоторую расплывчатость. Фактически классификацию состояний по зонам всегда можно провести точно и однозначно. Правда, когда энергия Е принадлежит двум состояниям различных зон — i//j и i//2, то и любую их линейную комбинацию at//, + 0ф2 можно рассматривать как волновую функцию электрона и тем нарушить классификацию состояний по зонам. Но это нерационально, ибо происходящие под влиянием внешних полей переходы электронов подчиняются различным правилам в зависимости от того, принадлежит ли начальное и конечное состояние одной или разным зонам. Это различие сохраняется независимо от того, перекрываются или нет соответствующие полосы энергии. Именно поэтому следует состояния электрона классифицировать по зонам.
В однородной цепочке в зоне Бриллюэна энергия всегда монотонно зависит от 1*1. Это следствие двукратного вырождения каждого Е. Ниже будет показано, что вид функции Е (к) может быть весьма разнообразным и не обязательно монотонным. Каждому Е в пределах даже одной зоны соответствует целый континуум волновых функций. О его характере, т.е. о виде энергетических поверхностей Е(к) = const, нельзя судить в рамках точной теории, не прибегая к помощи теории групп. Без этого можно лишь утверждать, что если ф есть одно из решений, соответствующее данному Е, то ф* — тоже его решение. Отсюда следует, что если поверхность Е(к) = const проходит через точку к, то, в силу (4.126), она обязательно проходит и через точку — к. Другие утверждения такого типа можно сделать, если учесть добавочные свойства симметрии.
Для выяснения особенностей состояний электрона на границах зон следует сперва обобщить формулу для тока в трехмерной решетке. За-
211
пишем (4.126), учтя зависимость волновой функции электрона от номера зоны:
4>ki(r) = exp(ikr)uki(r). (4.142)
Установим условия нормировки функции (4.142), введя систему координат с ортами — основными векторами решетки, тогда
r = jc(1)fl, + х(2)а2 +*(3)я3, *(,) = rbj. (4.143)
Здесь — числа, изменяющиеся на целое число при переходе от одного уз-
ла решетки к другому. Условия нормировки по аналогии с. п. 4.1.4 имеют вид
SdrH's' (О Фк"Г ('¦) =
= С lim ? dxV dx^ 3f dx*-3) ехр [/ (k'i - к\)х*1 * +
G— I, = -G /, 12 /з
