Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Обобщение на трехмерный случай очевидно. Для ПК решетки (4.139) примет вид
kjcgi + kyg2 + k2g3 =— (g\ +g\ +#!). (4.141)
a
Границы первой зоны получим из условий g, = ± 1; + gk = 0 (/,/', к =
207
Рис. 4.13. Зоны Бриллюэна в трехмерном случае для ПК решетки: первая (а), вторая (б), третья (в), четвертая (г). В случае первой зоны указаны некоторые точки симметрии (Г, X, R, М) и пинии, их соединяющие (д, ?, Т, Л,S,Z).
= 1, 2, 3) и кх = ку = кг = ± я/д. В итоге для первой зоны в ПК решетке получаем куб с центром в к = 0 и с ребрами длиной 2я/д, параллельными осям координат (рис. 4.13, д, на этом же рисунке указаны некоторые точки, имеющие симметрию). Вторая зона состоит из четырех прямых пирамид с квадратными основаниями — гранями куба первой зоны с высотой, равной я/д (рис. 4.13, б). Боковые треугольные грани этих пирамид получаем сечениями плоскостей: кх ± ку = ± 2тг/д; кх ± кг=±2п/а; ку ± ± кг = ± 2я/д. Здесь опять суммарный объем шести пирамид второй зоны равен объему куба первой зоны. По своей наружной поверхности вторая зона имеет вид додекаэдра. На рис. 4.13, в изображены также третья зона, облепляющая своими кусками поверхность второй зоны, и четвертая зона изображена на рис. 4.13, г.
Найдем первую зону ОЦК решетки. Используем матрицу/1оцК и правила нахождения векторов обратной решетки Ь* по (1.23) и (1.39), найдем
Отсюда видно, что обратная решетка для ОЦК является ГЦК решеткой. Для векторов bg имеем
й* = 2яС?,й, +g2b2 +g3b3) =
2я
= — [fei ~gi)ei +(g2 -g3)e2 +fe, +?3)^3].
Легко сообразить, что имеется двенадцать отличных от нуля наименьших по длине векторов b*g:
b\ ~ —(*1 +*2), ь2 = — (-<?! +е2), Ьъ = —(-е2 +*з)-
а
а
а
а
2 я
2 я
— (±*i±e2), —(±*2±*з), —(±ei ±ез).
а
а
а
208
Рис. 4.14. Первая эона Бриллюэна в трехмерном случае для ОЦК решетки, с указанием некоторых точек симметрии (Г, Н, Р, N) и соединяющих их линий (Д, ?, Л. F, D, G).
Рис. 4.15. Первая зона Бриллюэна в трехмерном случае для ГЦК решетки с указанием некоторых точек симметрии (Г, X, К, L,U,W) и линий, их соединяющих (Д, ?, Л, S, Z).
В системе координат кх, ку, к2 эти векторы суть диагонали, выходящие из начала координат, по четыре линии на каждой из координатных плоскостей. Таким образом, границы первой зоны Бриллюэна ОЦК решетки образуются двенадцатью плоскостями, перпендикулярными к этим диагоналям и пересекающими их на расстоянии тг/а от начала координат. В результате получаем первую зону ОЦК решетки в виде ромбического додекаэдра, изображенного на рис. 4.14.
В случае ГЦК решетки используя матрицу Лгцк и векторы обратной решетки, так же, как в предыдущем случае, находим, что обратная решетка здесь будет ОЦК. Для нее находим четырнадцать кратчайших векторов
2 я 2 я
— (±e<i ±е2± е3) и ± — 2е( (/' = 1, 2,3), которые по (4.141) опреде-а а
ляют октаэдр с усеченными вершинами, изображенный на рис. 4.15.
Для ПГУ решетки, используя матрицу Лпгу и векторы обратной ре-
11 11 1 шетки b 1 = — «1 + —f=r ег\ Ь2 = - — ех + ег\ Ь3 = — е3. Вэтом а \/Ъа а уЪа с
случае оси прямой и обратной решеток совпадают. Для векторов b? имеем
Г 1 1 1 1
Ь* = 2я — tei -g2)ei + —=r C?i +g2)e2 + — g3e3 •
La \3a с -1
Отсюда следует, что имеется восемь кратчайших векторов bg. Первая зона в силу (4.141) для ПГУ решетки имеет вид, изображенный на рис. 4.16, а. Здесь дело осложняется тем, что на шестигранных нижней и верхней поверхностях нет разрывов энергии. Это можно показать, если рассмотреть для этого случая структурный фактор рассеяния S из (1.52), который, как это представляется доказать читателю, исчезает для указанных двух плоскостей. Поэтому для ПГУ решетки, имеющей два атома в элементарной ячейке с координатами в прямоугольных осях (0, 0, 0; 1/2, 1/6, 1/2), надо рассмотреть вторую зону, которая изображена на рис. 4.16, б. В итоге получим вместо первой зоны так называемую состав-
14. Зак.768 209
Рис. 4.16. Первая и вторая зоны Бриллюэна в трехмерном случае для ПГУ решетки (по Джонсу) : первая зона, указаны некоторые точки симметрии (Л. 11. L. М, г. К) и линии, их соединяющие (Д, ?) (д); вторая зона (б).
ную зону или первую зону Джонса (1934). Она ограничена боковыми гранями первой зоны Бриллюэна (рис. 4.16, а) и включает все поверхности второй зоны (рис. 4.16, б), расположенные выше и ниже пересечения первой и второй зон1.
Приведенные примеры показывают, как производится построение зон Бриллюэна. Ниже рассмотрим, как можно использовать эти зоны для расчета зонной структуры конкретных тел.
