Сборник задач по общему курсу физики - Волькенштейн В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Общее уравнение гармонических колебаний имеет вид
x = ;4sin / + ф). (1)
Период Т колебаний можно найти из условия W= =2n2A2m/T2—3,\ • 10_5 Дж; отсюда
T = V2n*A2m/W. (2)
У нас i4=5-10-2 м, /и=10-2 кг и В7=3,Ы0~5 Дж. Подставляя эти данные в (2), получим 7’=4 с. Тогда 2ntlT=2ntlA=ntl2 и уравнение (1) примет вид
*=5 sin / + см.
Отметим, что так как sin + — величина безраз-
мерная, то А не обязательно подставлять в метрах; наименование смещения х будет соответствовать наименованию амплитуды А.
Задача 2. Уровень звукового давления равен 40 дБ. Найти амплитуд^ звукового давления и интенсивность звука. Порог слышимости звука 1в = 10"12 Вт/м*.
177
Решение. Уровень звукового давления Lp (в децибелах) связан с амплитудой звукового давления р соотношением
^ = 20Ig? (1)
где ро — амплитуда звукового давления при нулевом уровне громкости. В системе СИ р0=2-10“5 Па. По условию Lp=40 дБ. Из (1) имеем \g(plp0)=2, откуда р/р0=Ю2. Тогда искомая амплитуда звукового давления р=рй-102= =2*10-М0» Па=2-10_3 Па.
Уровень громкости L, (в фонах) связан с интенсивностью звука соотношением
?/ = 101gf (2)
По определению фона при =40 дБ имеем Z.7=40 фон. Тогда из (2) получаем lg(///0)=4, или ///0 = 104; отсюда интенсивность звука /=/0-104=10-12* 104 Вт/м2=10~8 Вт/м2.
§ 12, Гармоническое колебательное движение и волны
Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид х= Л sin ^^rf+qpj=./lsln (2jivf + qp) = A sin (coi+ф),
где х — смещение точки от положения равновесия, разное для разных моментов времени, А — амплитуда, Т — период, ф — начальная фаза, v [Гц]=1/Г — частота колебаний, <в [с-1]=2я/Г — круговая частота.
Скорость и ускорение точки, совершающей колебание, определяются соотношениями
dx 2л , /2л , , \
С, = Ж==Т °S [Т'
dv d2x. 4я2 . /2п , \
a~dt~dt2 ~~~ Тг ) '
Сила, под действием которой точка массой m совершает гармоническое колебание,
„ 4' ’ (2п \ 4ла/п
F = ma =----j^-;4sin [ у *+Ф 1 =— -^-х^ — kx,
где k—An^mlT^, т. е. Т = 2п Уmjk. Здесь Т —период колебаний точки, совершающей колебания под действием силы F=—kx, где k — жесткость, численно равная силе, вызывающей смещение, равное единице.
m
Кинетическая и потенциальная »нергни колеблющейся точки имеют вид
т mv* 2лЗт , (2л , , \
= — =-fT- A COS2 \^yr t + ф j,
kx1 2пгт,
^n =
Полная энергия
Wn = И2 sin2 ( j-1+Ф).
Примером гармонических колебательных движений могут служить малые колебания маятника-. Период колебаний математического маятника
Т = 2пУЩ,
где I — длина маятника, g — ускорейие свободного падения.
При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой
A = VА\-{- A%-\-2AiAi cos (ф2 —<Pi) и с начальной фазой, определяемой из уравнения
Ai sin ф!—(- sin ф2
tg<P =
Ai cos q)i-l-v42cos (
где Ai и A 2 — амплитуды слагаемых колебаний, <Pf и ф2 — их начальные фазы.
При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид
у2 fj 2 ,9 YU
—2-+-7S--xjrcos (Фз !'<Pi) = sm2 (ф2-ф1).
Если на материальную точку массой т, кроме упругой сильь F= =—kx, действует еще сила трения Frp=—tv, где г — коэффициент трения и v — ск.орость колеблющейся точки, то колебания точки будут затухающими. Уравнение затухающего колебательного движения имеет вид
х = Ае~6t sin (со? + ф),
где б [с-1]—коэффициент затухания. При этом б=г/2/и и ш'= J/"(Во—6а, где со0 — круговая частота собственных колебаний. Величина х=8Т называется логарифмическим декрементом затухания.
Если на материальную точку массой т, колебание которой дано в виде
Xi = Ae~6t sin мщ/,
179
действует внешняя периодическая сила f=f’0sin a>t, то колебания точки будут вынужденными и уравнение ее движения примет вид Хъ = А sin (со<+ф),
где
„ F0 26®
А =------- - - ......— , т§ф = —-----,
mv (о>о—С1)2)2 + 4б2(03 ®о—®2'
Резонанс наступает тогда, когда частота вынужденных колебаний ш связана с частотой собственных колебаний со0 и с коэффициентом затухания 6 соотношением
