Сборник задач по общему курсу физики - Волькенштейн В.С.
Скачать (прямая ссылка):
F = mg = GmM/R*. (1)
При движении тела вокруг Земли по круговой орбите сила гравитационного взаимодействия является центростремительной силой. Таким образом,
F = mv\lR; ' (2)
отсюда первая космическая скорость = Y GM!R = YgR= 7,9 км/с.
2.140. Для того чтобы тело удалилось от Земли, необходимо,
чтобы кинетическая энергия тела была достаточна для преодоления
гравитационной потенциальной энергии, т. е.
mv2/2^ GmM/R. (1)
269
У поверхности Земли GM/R2*=g (см. уравнение (1) решения предыдущей задачи); поэтому mfhftmgR, откуда вторая космическая скорость и2^У2gR = 11,2 км/с.
2.141.
Планета v„ кы/с и*, км/с Планета о„ км/с V,, км/с
Меркурий 3,0 4,25 Юпитер 42,6 60,4
Венера 7,2 10,2 Сатурн 25,7 36,4
Земля 7,9 11,2 Уран 15,2 21,5
Марс 3,57 5,05 Нептун 16,6 23,5
2.142. и = 30 км/с.
2.143.
ft, км V, км/с г
0 7,91 1 ч 25 мин
200 7,79 1 ч 28 мин
7000 5,46 4 ч 16 мин
2.144. Т =УЗя/Gp.
Планета Т, ч Планета т, ч
Меркурий 1,41 Юпитер 2,86
Венера 1,50 Сатурн 3,90
Земля 1,41 Уран 2,94
Марс 1,66 Нептун - 2,61
2.145. в„ = 9,20 м/с3.
2.146. Г1 = 7,8ч; Гг = 31,2ч. ¦
2.147. h = 35 800 км.
2.148. г = 1,7 км/с; 7' = 1 ч 50 мин.
2.149. Vi= 1,7 км/с; г2 = 2,4км/с.
2.150. У поверхности Земли имеем
F=mg=GmM/R2, (1)
270
где R — радиус Земли. На высоте А от поверхности Земли
mgh = GmM/(R + h)2. (2)
Из (1) и (2) получим
§h/§ = R2/(R+h)\ , (3)
Уравнение (3) дает зависимость ghlg от высоты А. Обозначим gh/g = n', тогда из (3) имеем уравнение h2-{-2Rh^-(R2—R2/n) = Q. Решая это уравнение, находим А =— R ±RlYn. Так как А должно быть больше нуля, то надо взять решение со знаком плюс, т. е. А=— R+R/]Tn. В этом случае А будет всегда положительным, так как всегда п < 1. Подставляя « = 0,25, находим h — R, т. е. gft = 0,25g на высоте, равной радиусу Земли. Заметим, что если А < R, то уравнение (3) можно записать так:
gh!g = R2/(R+h)2* 1-2А/Я.
2.151. А = 13 600 км.
2.152. Wn/WK = 2.
2.153. Пусть т — масса тела, находящегося на расстоянии А от поверхности Земли и на расстоянии г от ее центра масс. Учитывая указание, данное в условии задачи, можем написать
Fh = mgh = GmMr/r2, (I)
где Мг—масса шара радиусом г и с плотностью, равной плотности Земли р. Так как Мг = 4пг3р/3, то mgh = 4GmnrplZ. У поверхности Земли
F = mg—GmM/R2 = 4GnmRp/3. (2)
Из (1) и (2) получим
gh/g=r/R = (R—h)/R- (3)
Обозначим gh/g=n, тогда из (3) имеем h = R(I—п). Если « = 0,25, то А = 0,75 R.
2.154. Л = 2Я.
2.155. По третьему закону Кеплера
Tl/Tl=RljRl (I)
Так как нас интересует период обращения планеты Солнечной системы, то целесообразно в качестве планеты с известными значениями Та и R2 взять Землю (отметим, что при применении закона Кеплера к искусственным спутникам Земли естественно взять Луну в качестве спутника с известными значениями Т2 и Rt). Для нашего случая 7’а = 12мес, Я2=1,5-108км. По условию Я* = (1,5-10в + + 0,24- 10е) км= 1,74•_ 10® км. Тогда из (1) имеем 7’i = 7’2yr(/?1/7?2)3 = = 15мес = 450сут.
m
2.156. v=27,6 км/с; Г = 450 сут.
2.157. R3 = 1,46- Ю4 км; Г„ = 104мин.
2.158. Г = 88 мин.
2.159. Возьмем элемент кольца dl (рис. 81). Сила гравитационного взаимодействия между элементом кольца dl и массой т, помещенной в точке А, будет
dF=G
трпг1
dl.
Сила dF направлена по линии х, соединяющей элемент кольца dl Рис. 81. - с массой т. Для нахождения си-
лы гравитационного взаимодействия всего кольца и массы т надо векторно сложить все силы dF. Силу dF можно разложить на две составляющие: dFn и dFx. Составляющие dFn двух диаметрально расположенных элементов взаимно уничтожаются, поэтому
-S
dF*
Но dFi = dF cos а = dF Цх и
2яК
/•= f — dF= G —pii— f dl=G
к/ % % J
mpm2L-2nR
о)
Учитывая, что x= У/?2 + /Д имеем
„___2ri1Gmpr2RL
(R2 + L2)
3/2
(2)
2.160. Из формулы (2) решения предыдущей задачи видно, что если L = 0, то F = 0. Нетрудно убедиться, что функция F с увеличением L сначала растет, а затем уменьшается. Найдем максимум функции F. Выразим переменные величины х н L через угол а:
