Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, перед исследователями лежит целина непознанного о природе размерности нашего физического многообразия. В книге речь шла о выделении из 4-мерных (5-мерных) многообразий сечений меньшей размерности. Но что определяет 4-мерие классического пространства-времени? Почему так привлекательна 5-мерная теория поля? Обсужденные в гл. 12 особенности нашего физического мира могут служить лишь предпосылками к выбору отправной точки для глубокого исследования в этой сулящей необъятные перспективы области науки. Приложение. Единая 5-мерная теория гравитации, электромагнетизма и электрически заряженной материи
В § 11.4 показана принципиальная возможность описания электрически заряженной материи посредством компоненты 5-метрики G55 = —ср2 при условии .зависимости ф от пятой координаты. Сделаем следующий шаг в развитии этой теории — конкретно покажем, как от ср перейти к стандартным волновым функциям заряженного скалярного поля xF.
В излагаемом варианте 5-мерной теории используется условие своеобразной цикличности (замкнутости) 5-мерного многообразия по пятой координате с очень малым периодом. Компонента метрики G55 должна быть связана с xF следующим образом:
VzrG^5 = ф - [ 1 + ф + bw ехр (— і ах5) — bW ехр (i car5)]2/s , (П. 1)
*
где а и b — некоторые постоянные, которые будут определены позже; xF — функция, комплексно-сопряженная 4і", причем, конечно, 1F зависит лишь от четырех пространственно-временных координат; ф — некая действительная скалярная функция, соответствующая возможности ввода фундаментального скалярного поля. Таким образом, поле обычной заряженной материи вводится через чисто мнимую добавку к единице в ф, а фундаментальное скалярное поле — через действительную добавку.
Дальнейшая задача состоит в получении уравнений поля типа общепринятых на основе формулы (П.1). Это можно сделать двумя способами: либо подставляя (П.1) в 15 5-мерных уравнений (11.56) — (11.58) (с последующим усреднением по периоду пятой координаты), либо выводя уравнения вариационным методом из плотности функции Лагранжа. Пойдем по второму пути, так
как он позволяет получить вместо одного пятнадцатого три новых уравнения:
*
для волновых функций xF, xF и фундаментального скалярного поля ф. В качестве плотности функции Лагранжа выберем плотность 5-мерной скалярной кривизны ^G5R. Произведя процедуры конформного преобразования (11.39) и 1-f 4-расщепления, из (11.20) найдем:
Vg^R = - фз т/~ё IiR + (k/c*) FcepFap - %aVvi]-<p/<p -
- 4g«ev+<PV(W + «Ф, 5, Б/Ф + 4(РУ<Р2] - (П.2)
где использованы те же обозначения, что и в § 11.4. Переобозначим ф3/2=у. тогда действие S геометрической системы будет иметь вид
5 = J J VGr'R dx5d*x = j V^r МН, (П.З)
где
я = - J Ix2 (iR + {№) FapFap) - (16/3)ga?XVa V?~X + (16/3) %%,5,5]dx*.
(П.4)
Существенным моментом излагаемой теории является допущение, что пятая координата не наблюдается вследствие того, что константа а очень велика, т. е. период зависимости величин от хъ чрезвычайно мал по сравнению с теми расстояниями, для которых имеют место стандартные уравнения поля. Тогда естественно предположить, что обычно мы имеем дело с уравнениями, усредненными по л:5. Исходя из этого проинтегрируем (П.4) по периоду пятой координаты T
Т = 2п!а. Учитывая, что Г ехр (inax^)dx5 = Q при п = —2, —1, 1, 2, находим, что * 0
¦члены, однородные по ? и исчезают. В итоге имеем:
V~g X = - (2я/а) {[(1 + 0)2 - 26* W] [*R + (/г/с4) Fa?F«?] -
247: -(32/3)62 ?d^? — a2??) +(16/3) ^cp.acpj , (П.5>
где
(П.6>
Выражение (П.5) во многих отношениях соответствует стандартной плотности лагранжиана взаимодействующих гравитационного, электромагнитного и электрически заряженного скалярного полей.
Вторая пара уравнений Максвелла получается варьированием (П.5) по A Сравнивая его со стандартными уравнениями Максвелла, находим значения констант:
Ъ2 = 3xk2/32m; a = ес/2 ~\/k Hr (П.V >
где h — постоянная Планка; k — ньютонова и к — эйнштейновская гравитационные постоянные; е — заряд электрона; m — масса заряженного скалярного поля-Окончательно вторая пара уравнений Максвелла в 5-мерной теории записывается в виде
Vv |[(1 +0)2- (ЗхЙ2/16т) Wl ^v) = = (4яі/с) (eh/2m) (VdtW — Wdtty - (П.8>
Легко видеть, что в классическом пределе (когда полагаем xF = Ypexp (iS/h), где 5 — классическое действие; р — плотность вероятности нахождения частицы, и устремляем h к нулю) эти уравнения совпадают с общепринятыми уравнениями (1.42). Таким образом, из этой 5-мерной теории получаются уравнения Максвелла с электрическим током геометрического происхождения, чего не было в тео~ рии Калуцы и во всех предыдущих вариантах 5-мерных теорий.
Уравнения Эйнштейна получаются варьированием (П.5) по g^v. После стандартных вычислений, учитывая (П.7), находим их в виде
iRilv - (1/2) g^R = - №*) [FllaF--(1/4) +
+ [(1 +?)2 — (ЗхЙ2/16т) Wp1 {(y,h2/2m) [<Э+?д+? + o+?<3^? — -^v (g^d+i'dpY - (ctn/hf ??)] - (3x?2/16m) [VllVv (??) -
-^pVaVp(1P1Ir)] -(16/3) - аФ*] +
+ VllVv (і +Ф)2-^vSapVaVp (1 +Ф)2!- (П.9)
