Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Для волнового уравнения в плоском пространстве-времени д*фх1 — у1п)Ч> = 0 (12.10)
в [215] показано:
а) в случае нечетного п решение можно представить в виде
п-3
^ х> = (1?-) 2 M^ec*0. Х)Ь (12-11)
где = 0(г,х)-^ЦТ(х-1г),Г/ -некоторая
функция; 1 — единичный я-вектор. Отсюда следует, что ф(*°, х) зависит от интеграла по поверхности п—1 измерений, т. е. в пространствах нечетного числа измерений выполняется сформулированный принцип Гюйгенса;
б) в случае четного п функция ф(х°, х )записывается в виде
п-3
= (хГЗЯ)\ (12Л2)
x0
где функция H = 1 rQ (г> х)__ содержит интегрирование по n-мерной
bJ V xO-г2
области, т. е. принцип Гюйгенса не имеет места.
2. Трехмерные пространства выделяются из множества нечетномерных пространств дополнительным требованием сферической симметрии решения волнового уравнения, т. е. условием 1203]
<р(*°, х) =Л(г)/(г± je0), (12.13)
239: где f(r±x°) — произвольная функция. Действительно, подставляя (12.13) в уравнение (12.10), находим:
Af - A"f + 2Л'/' + Af + (A'f + Afr). (12.14)
Здесь штрих означает дифференцирование по г. Вследствие произвольности функции f можно приравнять слева и справа коэфт фициенты при /, /', f. В результате получим уравнения для функции А (г):
[(п—1)/г]А' + А" = 0; (12.15)
[(п—1)/г]А + 2 А' = 0. (12.16)
п—1
Из (12.16) находим Л = А0г 2 9 где Л о — постоянная интегрирования. Подставляя это решение в (12.15), получаем условие на размерность: n+l = 2(n—1), т. е. п = 3. Сферическую симметрию решения (12.13) можно понимать как условие неискажаемости переносимых волной сигналов.
3. Квантовая электродинамика перенормируема в пространствах с размерностью Сходимость или расходимость матричного элемента произвольного процесса квантовой электродинамики зависит, грубо говоря, от числа N импульсов, входящих в подынтегральное выражение. В общем случае диаграмма Фейнмана соответствующего процесса имеет Fi внешних фермионных линий, Fi внутренних фермион-ных линий, Bi внешних фотонных линий, Bi внутренних фотонных линий, С вершин. Вид лагранжиана взаимодействия электромагнитного и спинорного полей "ЧРЛ11 налагает два условия на числа F1BnC:
2Fi + Fl = 2C\ 2 Bi+ B1 = C. (12.17)
Используя правила Фейнмана и (12.17), легко подсчитать число импульсов в подынтегральном выражении произвольного матричного элемента в пространстве п измерений:
N = tL^C-j-F,-^ B1 +п+ 1. (12.18)
Если А^<0, то следует ожидать сходимости матричного элемента, если vV^O, то матричный элемент процесса расходится.
Для п>3 величина N зависит от числа вершин С, причем число вершин дает положительный вклад в N. Это значит, что« для любого процесса можно подобрать матричный элемент с таким числом С, что получится расходящееся значение. Для устранения всех расходимостей требуется сколь угодно большое число бесконечных констант, т. е. теория с п>3 неперенорми-руема.
240: Для п = 3 сходимость или расходимость матричного элемента-не зависит от числа вершин С, а определяется только числом внешних линий. В этом случае имеется лишь конечное число' (10) типов диаграмм с расходящимися матричными элементами... Из них физически значимы только четыре. Выбором конечного числа бесконечных констант, как известно, теорию можно пере-нормиро'вать (избавиться от расходимостей).
Для п<3 величина N зависит от числа вершин С, причем: число вершин дает отрицательный вклад в N. Это значит, что для любого процесса выбором матричного элемента с соответствующим числом С всегда можно получить сходящееся значение.
Указанные факторы также не противоречат 5-мерной теории' с дополнительными условиями на пятую координату. В пункте 3* следует иметь в виду, что векторный потенциал Ali можно* понимать как проявление компоненты 5-метрики G^li .
12.5. ЖЕСТКОСТЬ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ. ЧИСЛО ДИНАМИЧЕСКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Понятие жесткости системы дифференциальных уравнений было введено Эйнштейном [18, с. 778] в связи с проблемой построения единой теории поля. Поясним это понятие.
Пусть задана система дифференциальных уравнений для Ar полевых функций Фа- Число независимых аргументов функций фА равно размерности многообразия п+1. Рассмотрим класс решений этой системы, допускающих разложения в ряд Тейлора1 в некоторой точке Подставляя эти разложения в уравне-
ния поля, получаем тождества, которые можно понимать как некоторую совокупность соотношений, связывающих коэффициенты разложения Тейлора для фА. Часть коэффициентов разложения можно считать произвольными, тогда как остальные находятся из полученных соотношений. Пусть Z (га) — число произвольных коэффициентов в га-м порядке разложения всех полевых функций (имеются в виду коэффициенты разложения, стоящие перед произведениями из га сомножителей типа Xа—Яо)1 Тогда при достаточно больших га число Z(га) можно представить в виде
Z(m)^[(n + m)\/n\m\)(Z{0}+ Z{[)/m + Z(2)/m2+ . . .), (12.19)*
где в скобках записан ряд по степеням 1/га, а коэффициенты. Z(0), Z(1), Z(2)... не зависят от га. Для полевых функций реальных: физических полей (при п = 3) Z(0) = 0, a Z(1) называют коэффициентом жесткости соответствующей системы дифференциальных уравнений.
