Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
F^ = ехр (-4а) [F^ - 4GtvFixv + (п+ 1) or.«/*06] = 0. (12.3)
Справа члены с cx,v сокращаются только при п-hl =4.
Учитывая, что в 5-мерной теории Fixv возникает как монадный физико-геометрический, тензор при 1+4-расщеплении многообразия, данную особенность следует отнести к выделенное™ 5-мерия. Дополнительный член в 5-мерных уравнениях (11.57) не нарушает данного утверждения.
4. К особенности 4-мерного пространства-времени можно отнести наличие простой алгебраической классификации Петрова пространств Эйнштейна. Большие размерности уже не допускают
236: в общем случае расщепление характеристической матрицы на -аналогичные блоки. ¦ ;
5. К формальным особенностям 4-мерия допустимо отнести возможность сопоставления антисимметричным тензорам четного ранга сопряженных им тензоров того же ранга [207]:
F^ = ( 1/2) E^F^ ; Ra^ = (1/2) E^poRpoliv. (12.4) -Ни одна из указанных особенностей не отвергает 5-мерие.
12.3. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ 4-МЕРИЯ В СТАТИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
По-видимому, впервые Кантом [208] было отмечёно, что за-, коны обратных квадратов для гравитационной и электростатической сил связаны с 3-мерностью нашего пространства. Это легко выводится из 3-мерных уравнений Лапласа для потенциалов соответствующих полей. В гипотетической теории, описывающей явления в плоском пространстве иной размерности, естественно также ожидать наличия сил, потенциалы которых V удовлетворяют многомерному (по числу имерений) уравнению Лапласа. Его решение и центральную силу находят в виде
I/ = а//'"2; Г = ~ dV/дг ~ 1 /гп~\ (12.5)
где а — постоянная; г = у/ х\ + х\ + e e .+ X2n-
Заметим, что аналогичное свойство изменения гипотетических гравитационных взаимодействий имеет место в «ОТО»
5B многообразии п+1 измерений. Так, понимая в я+1-мерном многообразии под сферически-симметричными метрики (в координатах кривизн)
ds2 = ехр V dxl — ехр X dr2 — r2dQ\ (12.6)
где г = Xі;
dQ? = dx2 + sin2 x2dx\ + sin2 X2 sin2 x3dx\ + . . . + П sin2 xtdx2n,
/=2
можно показать [209], что статическое решение вакуумных «уравнений Эйнштейна» имеет вид:
/ г \ dr2
ds2 = Il--dxl---ЛКУ. (12.7)
V г"-2 ) (1 -TgIr"-*)
В частности, анализ 5-мерных уравнений геодезических в такой метрике показывает наличие «силы притяжения», изменяющейся обратно пропорционально кубу расстояния от источника и более высоким степеням г. Это свидетельствует о необходимости выделения пятой координаты с помощью условия цилиндрично-
237: сти или условий, указанных в § 11.4, которые сохраняют закон убывания сил — 1 /г2.
С законом убывания потенциалов (12.5) связан ряд особенностей 4-мерного пространства-времени.
1. Только в пространстве-времени четырех и менее измерений возможны устойчивые атомы. Этот вывод можно сделать, анализируя уравнение Шредингера в плоском пространстве-времени п+\ измерений [210]*. Строгий анализ основан на теоремах о спектральных свойствах дифференциальных операторов и приводит к следующим результатам:
а) при Az^5 отрицательная часть спектра энергии простирается до — оо, что означает падение электрона на ядро;
б) при п = 4 возможны различные случаи в зависимости от константы у= (ii/h2)Ze2—3/4 + /(/+1), где Ze — заряд ядра; I — орбитальное квантовое число. Если у>1/4, то отрицательная часть спектра простирается до —оо; при у ^—3/4 отрицательные уровни энергии отсутствуют; при —3/4<у=^1/4 задача не имеет решения, т. е. или не существуют отрицательные уровни энергии, или имеется один такой уровень, который может принимать все возможные значения от 0 до —оо.
2а. Круговые орбиты пробных тел в «ньютоновом» гравитационном поле В ПЛОСКОМ пространстве-времени AZ+1 измерений устойчивы при п^.3 и неустойчивы при п^4 [212]. Это следует из анализа эффективной потенциальной энергии V(и) в законе сохранения энергии, записанном с помощью первой формулы Бине:
m 2 ~2 а°
(^-J + и2 j — kMmun~2 =
26. Вывод об устойчивости круговых орбит пробных тел только при п^З можно получить также, рассматривая уравнения геодезических в метриках (12.7) [213], где аналогичная (12.8) формула имеет вид [ср. с (4.31), (11.67)]:
W-D +
+ kMmu"-2 + — tnual. (12.9>
m 2
Tcro
Указанные особенности не противоречат 5-мерной теории лишь при дополнительных условиях, выделяющих пятую координату.
* Впервые такую задачу на основе теории квантования Бора решал Эрен-фест [211], который пришел к выводу о невозможности существования атомной материи в многомерном пространстве с м>4.
238: 12.4. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ МНОГООБРАЗИЯХ п+1 ИЗМЕРЕНИЙ
.1. Условие справедливости принципа Гюйгенса выделяет пространства нечетной размерности (дг = 3, 5, 7...) [214]. Принцип Гюйгенса, первоначально сформулированный для построения фронта световой волны, в .настоящее время имеет несколько формулировок. Одна из наиболее широко распространенных и довольно общих приведена в книге [215, с. 686]: «Принцип Гюйгенса есть утверждение о том, что значение решения задачи Коши для волнового уравнения зависит только от границы области зависимости на плоскости .X0 = O, т. е. что оно зависит только от начальных значений решения ф и его производных на границе основания г = х° характеристического конуса, но не от начальных значений внутри этого основания».
