Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
* Появление представлений о многомерных пространствах (при п>3) следует рассматривать как важную веху в развитии учения о структуре физического пространства. Пожалуй, рождение этой идеи можно поставить в один ряд с открытием неевклидовых геометрий. Трудно сказать, кому здесь принадлежит приоритет. Вполне отчетливо идеи многомерности были сформулированы в прошлом веке в работах Грассмана и Кэли. Довольно глубокие соображения о размерности физического пространства можно найти в работах Римана [14, с. 18] и Маха [202]. Между тем задолго до них Лагранж рассматривал в механике 4-мерные конфигурационные пространства. Этот ход мысли сыграл большую роль в формировании идеи о 4-мерном пространственно-временном многообразии теории относительности.
234: Взглянем на размерность с позиций реляционного подхода к пространству-времени, понимаемому как совокупность отношений, в которые вступают друг с другом материальные образования, в частности частицы (в классическом смысле). В общем случае существования в мире N частиц между ними можно было бы ожидать Nl независимых (симметричных) отношений. При возможности погружения частиц в п-мерное многообразие (пространство) независимых отношений становится только tiN. В физическом пространстве реализуется случай п = 3. Это одно из наиболее удивительных и загадочных свойств нашего мироздания! Можно ли его объяснить, исходя из каких-то более элементарных физических понятий и закономерностей?
В современной теории факт 3-мерности пространства (или 4-мерности пространства-времени) обычно постулируется. Однако в настоящее время уже очевидно, что пространство не является априори вместилищем материи, а в своих существенных чертах определяется физическими свойствами материи (или обязано им). Это достаточно ярко продемонстрировали революции в физике, происшедшие за последние восемь десятилетий. Перед современной теоретической физикой поставлен вопрос о создании такой физической картины мира, в основу которой были бы положены закономерности и понятия, берущие начало из физики микромира. В такой теории классические пространственно-временные представления, справедливые для макроскопических явлений, не должны быть заложены с самого начала, а должны возникать со всеми вытекающими из них свойствами на определенном этапе развития теории как нечто вторичное. Это относится и к появлению понятия размерности. Представляется, что построение такой теории (или достаточно оформленных ее фрагментов) явилось бы физическим обоснованием постулата пространственного 3-мерия, а также вскрыло бы корни 5-мерия и природу ограничений, налагаемых на пятое измерение.
Для реализации такой программы чрезвычайно важно суметь выявить те основные закономерности, которые следует заложить в фундамент новой теории, в частности усмотреть истоки понятия пространственной размерности. Конструктивным путем поиска является анализ действия физических понятий и законов в пространствах различного числа измерений. Те из них, которые справедливы лишь в 4-мерном (5-мерном) пространстве-времени и не допускают обобщения на случай других размерностей, можно считать наиболее тесно связанными с искомыми более глубокими понятиями и закономерностями, ответственными за макроскопическую размерность. Во всяком случае, такая методика может помочь выявить главное и отсеять второстепенное.
В этой главе кратко рассмотрен указанный путь исследований. Здесь использован довольно обширный накопившийся к сегодняшнему дню материал [203—222], можно сказать, своеобразная коллекция особенностей физического мира в пространстве-времени четырех измерений по сравнению с аналогичными
235: теориями в многообразиях иного числа измерений. Несмотря на то что пока трудно окончательно ответить на поставленный выше вопрос, из совместного рассмотрения этих особенностей вырисовывается любопытная картина уникальности нашего мира и представляется возможность выдвижения новых гипотез.
Далее везде п+1 означает размерность пространственно-временных многообразий с сигнатурой (Н---...), причем пространственные координаты полагаем равноправными.
12.2. ОБЩЕКОВАРИАНТНЫЕ ОСОБЕННОСТИ 4-МЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
1. 4-Мерные многообразия имеют наинизшую размерность, начиная с которой теория Эйнштейна в вакууме содержательна [8, с. 108]. Действительно, многообразие искривлено, если тензор Римана — Кристоффеля отличен от нуля. В многообразиях трех измерений R11Vap однозначно выражается через тензор Риччи согласно (6.11), а в многообразиях двух измерений — через скалярную кривизну:
(12.1)
Следовательно, многообразия с тремя измерениями в вакууме согласно уравнениям Эйнштейна Rliv = 0 могут быть только плоскими.
2. Четыре — минимальная размерность, при которой конформно-инвариантный тензор Вейля C.va? нетривиален. В многообразиях трех измерений вследствие (6.11) тензор Вейля тождественно равен нулю, его роль выполняет конформно-инвариантный тензор [41, с. 254]
Cm = VkRiJ - VjRik + (1/4) (gtuVjR - SijVkR). (12.2)
3. 4-Мерные многообразия являются единственными, в которых вторая пара уравнений Максвелла в вакууме конформно-инварианта [206]. Действительно, учитывая содержание § 1.9, вторую пару уравнений Максвелла можно записать в виде
