Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Владимиров Ю.С. -> "Системы отсчета в теории гравитации" -> 89

Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.

Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации — М.: Энергоиздат, 1982. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): sistemotchetateorgrav1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 102 >> Следующая


11.5. СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫЕ РЕШЕНИЯ 5-МЕРНЫХ «УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА»

Рассмотрим цилиндрические по пятой координате статические сферически-симметричные решения 5-мерных «уравнений Эйнштейна». Простейшее из них получается из 4-мерной метрики Шварцшильда добавлением компонент G55= — 1, Gsiu=O:

226: dl* = ( 1 - T-) dxl - (X^r ,r) - ^2 (d02 + sin2 ed<P2) - Лі. (11.61)

К более общим решениям можно прийти, либо непосредственно решая уравнения (11.33) — (11.35) в любом варианте выбора 4-метрики, как это делалось независимо в работах [195, 196], .либо воспользовавшись тем, что в отсутствие электромагнитного поля в варианте выбора 4-метрики б) 5-мерные уравнения (11.336) — (11.356) совпадают с 4-мерными стандартными уравнениями, из которых было получено решение Фишера (4.86), либо используя найденные сферически-симметричные решения в скалярно-тензорных теориях гравитации при соответствующем -5-мерию выборе произвольных констант. Любым из этих путей приходим к точному решению

dl2



7 \ I-A-B ( 7 \2В

! —7"J (d02 + sin2 0d(p2) — --j-J dx I (11.62 a)

где rg, А и B— константы, связанные соотношением Л2 + ЗВ2=1. Ясно, что (11.62) переходит в метрику Шварцшильда при ? = u, А = +1. Видно также, что в варианте б)

Н'-ЭТ'-^Ч'ЧГ/-

^l- у-У (de2 + sin20V)j —(l —у-) d^ij (11.626)



4-метрика (в квадратных скобках) совпадает с решением Фишера. Опираясь на соображения предыдущих параграфов, будем использовать вариант 4-метрики в)

«Ч1 -ЩО -]- Wm іЛ-

_ гф _ Li- )' (de2 + Sin2 0d(p2) — dxt^. (11.62в)

Для удобства сопоставления 5-мерной теории с ОТО желательно записать 4-метрику варианта в) в координатах кривизн. Однако точно это можно сделать лишь в неявном виде [195J, поэтому запишем ее в координатах кривизн приближенно. Переобозначим константы: а = 2В/(А — В) ^rg = rg~|/а2 + а + 1 ; A = = (а + 2)/2 У а2 + а + 1 ; B = а/2 У а2 + а + 1 и преобразуем /у. r2 = r\( 1—fg/r{Y~A~SB. Легко видеть, что при а=0 метрика (11.62) переходит в (11.61). Представим компоненты метрики в виде рядов по TgIrm После несложных вычислений находим:

8* 227 ds2« [1 — (1 — a) rg/r] dxl — [1 + (1 + 2a) rg/r] dr2 — — T2 (dG2 + sin2 ЄЖр2); О Г.63)

ф2 A і _ arg/r -[a (a+ 1)/2] (rg/r)2.

В любой интерпретации 5-мерной теории ф описывает распределение вокруг источника безмассового скалярного поля. Константа а определяет плотность скалярного поля и одновременна его влияние на 4-метрику.

Кратко рассмотрим поведение пробных тел в сферически-симметричной 5-метрике. Для пятого уравнения геодезической ранее был получен первый интеграл в самом общем виде (11.43). Подставляя в него приближенное решение для ф2, получаем:

(dX/ds)2 &W0[ 1 + (OrgZr) (1 - W0)]. (11.64)

Из пространственно-временного уравнения геодезической (11.40) для угла 0 находим, как и в метрике Шварцшильда, что если в начальный момент пробная частица двигалась в экваториальной «плоскости» (ф0 = я/2, dQ/ds 10 = 0), то и вся траектория находится в этой «плоскости». f Из уравнения для угла ф вычисляем интеграл:

r2dq>/ds « а [ 1 + (а/2) (1 — W0) rg/r]9 (11.65>

где ет — постоянная интегрирования (удвоенная секторная ско-4 рость). Аналогично, из уравнения (11.40) для |м = 0 находим:

dx°/ds « F0 [ 1 + rg/r — (а/2) (1 + W0) rg/r]9 (11.66)

где Vo — постоянная интегрирования.

Вместо оставшейся компоненты уравнения геодезической удобно использовать выражение для квадрата 4-интервала. Учитывая первые интегралы (11.64) — (11.66) и переходя от г к и = = IZr9 получаем:

Ct2 [(du/Фе)2 + и2] = Vl — I + TgU [ 1 + а (3 - 3V20 - W0)] +

+ г^3ст2 (I+ 2а). (11.67)

Сравнивая (11.67) с соответствующим соотношением в стандартной ОТО, получаем выражение для эффективной массы центрального источника:

Мэф = (/VC2/2k) [(1 + За); - а (ЗУ20 + W0)\ =M0 + M1, (11.68)

где Mi — часть Мэф, зависящая от параметров пробной частицы. Это существенно новое свойство 5-мерной теории.

Вычисления, аналогичные проделанным в гл. 4, дают для смещения перигелия (Меркурия) значение (за один оборот)

бФ = (3/2) лг^ (l/rm + 1/гмакс) (1 + 2а). (11.69)

Для отклонения лучей света, проходящих на расстоянии ро от источника, находим:

228: ¦6? = (2r/p0)(l-a/2). (11.70)

Из формул (11.68) — (11.70) следует, что при достаточно малых а различия между классическими эффектами в ОТО и в 5-мерии могут быть неощутимыми.

Кратко обсудим частный случай метрики, создаваемой центральным электрически заряженным источником. Такую метрику можно было бы найти, решая непосредственно уравнения (11.33) — (11.35) [197], однако мы поступим иначе. Будем исходить из известной метрики (11.61). Произведем линейное преобразование координат:

X0 = а00х -f- CL0bXf ; хь = аъох' -f- ос55лг , х " = х , | (11 71)

- (а55/Д) *о - (CX0bZA) jfi; Xf5 = - (а50/Д) + (а00/Д) х\)

где А = аоо«55—«о5«5о. Очевидно, что в новых координатах метрика по-прежнему будет решением 5-мерных «уравнений Эйнштейна»: однако преобразование (11.71) выводит нас за пределы «обобщенной системы отсчета» в данной калибровке [см. (11.5), (11.29)]; переход к новой «обобщенной системе отсчета» индуцирует иную физическую ситуацию — приводит к появлению электрического и скалярного полей. Действительно, в новой системе координат
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed