Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что конформные преобразования (11.32) произведены на 4-мерном уровне, т. е. использовалась схема: сначала 1+4-расщепление 5-мерного многообразия, затем конформное преобразование в 4-мерном пространственно-временном сечении. К тем же результатам можно было прийти, используя обратный порядок процедур: сначала конформное преобразование в рамках 5-мерия, потом 1+4-расщепление в конформно-соответствующем исходному 5-мерном многообразии. Например, вариант в) соот-
221: ветствует 5-мерному конформному-преобразованию исходной метрики Gab:
Gab = ф 2Gab; Gab = (1/Ф2) Gab9 (11.39)
* *
так что в новой метрике Gab имеем G55 =— 1. Последующее 1+4-расщепление многообразия с
метрикой Gab и скалярным полем ср как источником приводит к уравнениям (П.ЗЗв) — (11.35в).
Появление в 5-мерной теории скалярного поля ф позволяет выдвинуть гипотезу, что нет необходимости волевым образом вводить в правую часть уравнений Эйнштейна тензор энергии-импульса внешней материи. Ей может соответствовать геометрическое скалярное поле ф, автоматически возникающее при 1+4-расщеплении 5-мерного риманова многообразия. С учетом этой гипотезы следует выделить две крайние ветви исследований 5-мерной теории.
1. Исследование 5-мерной теории с дополнительными источниками в виде Qab справа. Тогда 5-мерие можно использовать для описания в единых рамках теории гравитации, электромагнетизма и дополнительного безмассового скалярного поля ф, пока еще экспериментально не обнаруженного. Такая 5-мерная теория смыкается с вариантом скалярно-тензорной теории гравитации.
2. Исследования 5-мерной «вакуумной» теории, из которой предполагается получить единую теорию гравитации (S^v) » электромагнетизма (Л^) и известной остальной материи (ф).
Возможны промежуточные варианты.
11.4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННОЕ ПОЛЕ В 5-МЕРНОЙ ТЕОРИИ
Рассмотрим вопрос о геометрическом смысле электрических зарядов в 5-мерной теории. Для этого сопоставим пространственно-временные уравнения 5-геодезической (11.19) в варианте метрики в)
со стандартными уравнениями движения электрических зарядов в искривленном пространстве-времени (1.46). Отсюда следует отождествление
dk/ds = — q?mVk , (11.41)
т. е. отношение электрического заряда к массе т пробного тела с точностью до константы является кл. и. компонентой 5-ско-рости тела вдоль пятой координаты Это отношение в общем
222: случае — переменная величина, определяемая с.кл.и. и конформно-инвариантным пятым уравнением геодезической (11.18) (при Дцч = 0). При условии цилиндричности его можно записать следующим образом:
d , — In
ds
r(dl/ds)2
- —2—1пф. (11.42)
ds
1 _ (dl/ds)* Интегрируя его, находим:
(,dX/ds)2 - WJl Ф2 + W0( І— ф2)] - q2/4km\ (11.43)
где W0 — постоянная интегрирования. Таким образом, отношение q/m определяется скалярным полем ф. В отсутствие скалярного поля q214km2— I^0=Const.
В ветви 5-мерной теории 1 с внешним источником в виде пылевидной материи [Qab = P (dxA/dI) dxB/dI] уравнение (11.34) при данной интерпретации dX/ds имеет смысл второй пары уравнений Максвелла с обычным источником в виде тока.
В ветви 5-мерной теории 2 (без внешних источников) условие цилиндричности геометрических величин по пятой координате исключает возможность введения в уравнения типа второй пары уравнений Максвелла электрических зарядов [18, с. 387J. Их можно ввести, используя более общие 5-мерные римановы геометрии без условия цилиндричности, когда присутствует третий 5-мерный физико-геометрический тензор Дав-
Переходя к обсуждению теории поля в 5-мерном многообразии (в ветви I),- прежде всего следует указать на поразительное сходство операторов дифференцирования в стандартной электродинамике
+^T = Idfdxpi — (і e/ch) Ap] Т, (11.44)
инвариантных при калибровочных преобразованиях
W W ехр Ціе/Ch) Л; All -> Avl + djIdX11t (11.45)
где f (х°, Xі, Xі, л:3) — произвольная функция, и операторов про-странственно-временного дифференцирования в 5-мерии
- [д/дя? - (GllSlGbb) d/dx5] Т, (11.46)
инвариантных при калибровочных (11.5) и специально калибровочных (11.29) преобразованиях. Сходство проявляется также при рассмотрении коммутаторов этих операторов:
[+?+?-]- T = і -J- Fvi4T; [dt dt] T = 2F^dfW. (11.47)
Операторы (11.44) и (11.46) и соотношения (11.47) будут совпадать, если при условии цилиндричности геометрических величин по пятой координате произвести отождествление (11.30) и предположить зависимость негеометрической величины W ОТ Xb вида
223: ^F = Xf(^t)ехр[— (iec?yk й)*5]. (11.48)
Тогда при преобразованиях (11.36) будем иметь аналог калибровочных преобразований xP в электродинамике:
Y W ехр [— (і ес/2 Vk h) f (*)]. (11.49)
Для скалярного поля (в ветви теории 1) следует постулировать 5-мерное уравнение типа Клейна—Фока
GabVaVbV ± (\i2c2/h2) xP + a5RW = 0, (11.50)
где а — постоянная; \х—фиктивная масса. Возможны различные варианты теории при разных значениях ? и ц, в том числе равных нулю. Используя формулы (11.9) — (11.14), это уравнение в варианте 4-метрики а) можно представить в следующем кл.и. виде:
