Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Кристоффеля, a dt , действующее на геометрические величины, является оператором частного дифференцирования. Тензор кривизны (11.24) совпадает с обычным тензором Римана—Кристоффеля.
Выделенный класс преобразований пятой координаты (11.5) при условии цилиндричности сужается до преобразований
х'ъ = xb + f (X09 х\ X2, X3). (11.29)
Это сужение класса преобразований вызывает расширение множества инвариантных при таких преобразованиях величин. Назовем величины, инвариантные при преобразованиях (11.29) и ковариантные относительно (11.6), специально калибровочно-ин-вариантными (с.кл.и.). В частности, с.кл.и. становятся компоненты G55, а следовательно, и потенциал скалярного поля ср. Нсли теперь считать физически значимыми с.кл.и. величины, то таковых становится много. В частности, ими являются все величины, получаемые из кл.и. умножением на произвольную функцию Sr (ф) . В связи с этим возникает вопрос: какие конструкции из геометрических характеристик должны быть сопоставлены физическим величинам, главным образом тензору электромагнитного поля Fliv и 4-мерному метрическому тензору g ?
Электромагнитные величины. Определим их из двух условий: 1) чтобы преобразования векторного потенциала All при (11.29) совпадали с обычными калибровочными преобразованиями в электродинамике и 2) чтобы в уравнениях (11.26)
* В теории Калуцы 14 неизвестных компонент Gab. Для них вариационным методом из плотности лагранжиана У G 5R выводятся 14 уравнений, тождественно совпадающих (в отсутствие внешней материи) с 10 стандартными уравнениями Эйнштейна (с тензором энергии-импульса электромагнитного поля справа) и четырьмя уравнениями второй пары Максвелла (без источников справа). Пятнадцатое уравнение типа (11.28) в теории Калуцы отсутствует.
219: перед тензором энергии-импульса электромагнитного поля стоял стандартный размерный коэффициент. Эти условия приводят к отождествлению:
V = (2 Ук/с2) ^A11; Fliv = [Vkjc2) (1 1.30)
TjieFviv = OAvIdx11 — дАц/дхv. Видно, что при преобразованиях (11.29)
K = X11 + ф df/dx»; A11 = A11 + dj/dx»; f= (с2/2 у?)Д (11.31)
Метрический тензор. Совокупность с.кл.и. 4-метрик образует множество конформно-соответствующих (посредством конформного фактора (ф)) метрик:
= ?v = /v/,f (Ф). (11.32)
Какая из конформно-соответствующих метрик описывает физическое пространство-время? Рассмотрим несколько вариантов..
а) Пусть ^F(Cp)=I (непосредственное отождествление с физической метрикой метрики, получающейся при 1+4-расщепле-нии 5-мерной геометрии). В этом случае уравнения (11.26) — (11.28) принимают вид:
'Rllv - (1/2) g^R + A^v = - (2k/c*) ф2 [FmFa - (1/4) ^v Fa?Fa?] + + (1/ф) (VnVv9 — g-^i^VccV? ф) + ^iiv; (11.33а>
-VvFvii- 2OaFal1 = (c2/yk)KQ% Xа; (11.34a)
(1/2)4R + (3/2) 0k/c4) Fa^-A = KQabXaXb. (11.35a)
Недостатком этого варианта можно считать переменность гравитационной постоянной из-за множителя ф2 в (11.33а) справа перед тензором энергии-импульса электромагнитного поля.
б) Пусть $ (ф) = 1/Ф, т. е. произведем конформное преобразование исходной метрики ^fxv: STjtxv = (1/ф) STfxv; g^ = Фё^ Тогда уравнения (11.26) — (11.28) запишем следующим образом:
4^v - (1/2) g^R + Л (1/ф) ^v = - (2k/c*) ф3 [FllvFa. -
- тSlivFatFa*] + (3/2ф2) [Ф^Ф,,- (1/2)^ЭФ.аФ,э] + "7Vv;
(11.336)
- Vv(ф3^) - (c2/Vk) хФQg Xа; (11.346)
^*V«V?<P - (2/3) А - (3/2ф) йГ*фвафвР + + (1/3) 4/?Ф + (k/c*) ф4Fа?Fа? ±= (2/3)kQABXaXb. (11.356)
Характерной особенностью уравнений (11.336) — (11.356) является отсутствие гравитационной постоянной к перед вкладом скалярного поля. Однако х можно ввести, произведя преобразование
220: Ф = ?ехрі/2х/3 .
(11.36).
Тогда уравнения (11.336) и (11.356) принимают вид в вакууме при учете свертки уравнений (11.336):
4^v - (1/2) g^R + А (1/Ф) Sliv = - W) ф3 [ FmFv" -
- (1/4) ^vVap] + к [V9^ - (1/2)g^V.aV.ft (11.37)
SapVaVp^f + (1/1/6^) А/Ф + (k/c*)V3j2^q>*Fa?FaV = 0. (11.38)
Легко видеть, что (11.38) в отсутствие электромагнитного поля и при A = O представляет собой уравнение Клейна—Фока для безмассового скалярного поля, а (11.37) — уравнения Эйнштейна с наиболее распространенным видом тензора энергии-импуль-са скалярного поля (1.47).
в) Произведем конформное преобразование исходной метрики:
guv (f = Ф2):
= cP2^W Slw = (WfiT.
Тогда 5-мерные «уравнения Эйнштейна» принимают вид: Wllv - (1/2) g^R + Аф^ = - (2kp) [FmF* - (1/4) ^vFa?Fa?] + + (3/ф) (VjaV^ — Va?VaV?Ф) — бф^ф^/ф2 + (11 .ЗЗв)
— VvFvli - 3FV\fv/q> = (AtfVk) ФW; (11.34в)< ^apVaVftФ- (!/6)4#ф + (1/3) Аф3- (Аф/2с4) Fa?Fa? =-(х/3)
(11.35b)
Уравнение (11.35в) в вакууме (при A = O, Fa?=0) представляет собой уравнение Клейна—Фока с дополнительным членом — (1/6)4/?ф, вводимым обычно из соображений конформной инвариантности уравнения безмассового скалярного поля [см. (1.72)]. Интересно, что наличие космологического члена А соответствует появлению в уравнении нелинейного члена, пропорционального ~ф3 и вводимого в нелинейной теории поля из других соображений. Еще одним преимуществом данного варианта является постоянство гравитационной постоянной перед тензором энергии-импульса электромагнитного поля в (П.ЗЗв). Вследствие указанных и ряда других свойств наиболее предпочтителен именно вариант отождествления в).
