Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Bixv = ?fc5/(± G5/72 = т. ..5/Фп (11.7)
п
и полученные из них опусканием индексов с помощью 4-мерного тензора g?v -
Видно, что компоненты gvv и ^iv 4-мерного пространственно-временного тензора образуют кл. и. 4-тензоры. Квадрат интервала 5-мерного риманова пространства представляется в виде
(<Hf = GABdxAdxB = ± (dXf + ds2, (11.8)
где dX = XBdxB = GsBdxB/q) — интервал вдоль пятой коор-
динаты (кл. и. скаляр); ds* = g ^dxvdxv —интервал 4-мерного пространственно-временного сечения (в общем случае неголоном-ного), ортогонального линиям X.
Физико-геометрические 4-тензоры. Как и в: 4-мерном случае (см. § 3.5), из компонент метрического тензора и их производных первого порядка можно построить следующие кл. и. тензоры:
фA=T^b (Хл, в - Xb , а) O1X = (1/ф) (Ар/д** =F дХ^дхъ) (11.9)
— аналог вектора ускорения Fli в 4-мерном случае;
Fab = ± (1/2) gA gB (Xct d — Xd , с) ^Vv = = ± (1/2) (OXllIdxv — W + (ВД — OvXll) (11.10)
— аналог тензора угловой скорости вращения Aih\
Дав = (1/2) (gABt СХС + gACX% + gBCXc,A) Дар = (1/2Ф) dg^dxh JX^ = — (1 /2Ф) dga*/dx5 (11.11)
— аналог тензора скоростей деформаций Dik. Операторы дифференцирования. Будем пользоваться следующими двумя операторами, действующими на кл. и. 4-тензоры и сохраняющими их свойство калибровочной инвариантности.
а) Монадный оператор дифференцирования по пятой координате
0?::; = хвдЪ%\:\/дхв = (і/Ф) дв%\: :/дх\ (і і .12)
Этот оператор не зависит от ранга и ковариантности дифференцируемой величины. Он соответствует оператору *дТ в § 3.5.
216: б) Оператор ковариантного пространственно-временного дифференцирования
п
+ . . .-гSvBg;;:- . . (ИЛЗ)
где использованы обозначения
dt = —__^Ljr = -?- + (11.14)
G85 o*5 ^a ф 3*5 V
— кл. и. оператор пространственно-временного дифференцирования;
Г&= (1/2)^(? + ?-^) (11-15)
— кл. и. 4-связность.
Основные соотношения и уравнения 5-мерной теории. Запишем их через монадные величины и операторы в данной калибровке.
а) Уравнения геодезических в 5-мерной теории имеют вид:
d*xA/dP = - Pabc (dxB/dI) dxc/dl, (11.16)
тде 5-мерные символы Кристоффеля
Pic = (1/2) Gad (dGDB/dxc -f dGoc/dxB — dGBCfdxD). Введем кл.и. компоненты 5-скорости:
и* = dx^/ds; dX/ds = ± ^dxbIds + X^ (11.17)
и используем соотношения:
dx? и? dx* +1 , fa \
—TT = — •; -TT =--- I--A11UP );
У1 ± (dX/ds)2 ш ф У1 ± (dX/ds)2 \ ds )
d2x* _ 1 d2x» _ iP TdX d2X
^dVr 1 Hb (dX/ds)2 Is2" + [1 ± (dX/ds)2]2 IT Ч& '
Тогда уравнения геодезических можно представить в кл. и. виде:
d2X ds2
^ = - г- 2 P' (?», ± А») ± « (-?-)'V, (11.19)
где уравнения, спроектированные на пространство-время, умножены на массу «покоя» т0 и при их записи использованы обозначения: т = т0/У 1 ± (idX/ds)2; р» = тиР.
б) Скалярная кривизна и компоненты тензора кривизны в кл. и. форме запишем следующим образом:
217: 5R - 5RAB GabД^ДГ + F^v -
- 2 (± ІЇД + ФаФа + vi:®a); (11.20)
5Rixv = 4^v — Ф^ T ДІГ — ДР^ ± 2Д^°ДІ + 2F110Fv0 —
- [(1/2) (у±Фр + Vjj^) ± дГДаї] ; (11.21)
- v± (ДПІ ± Fv^i - Д^) ± 2ФJ^; (11.22)
5RabXaXb = + f + фР - д^Д + Ф.Ф" - ДсфДар + Fapfap), (П .23)
где
фо _ ^fo Л+,Fg ! Fa Fa _ F0r Fa •
A . M-VP - t7V 1 HP tyP 1 (LIV г 1 (Ltp1 CCV 1 ILlV1 рсс,
в) 5-Мерные «уравнения Эйнштейна» постулируем в виде
5RAB-(1/2) G AB5R + Л Gab = vQAB, (11.25)
где Л — космологическая постоянная; к = 8nk/c4; Qab — 5-мерный тензор энергии-импульса источника. Используя кл. и. тензоры и операторы, эти уравнения можно записать следующим образом:
4^v - (1/2) ^v *R + Agllv = ± [2F^aFva -(1/2) gJJ^] +
+ ava>v + (1/2) (v±®v + - ^v (ф«фа + +
+ Д (Kv ± Дт) T 2Дтж ± Av +(1/2) ^v (Д2 +
+ ДарДар + 2dfU) + 2 Fva Дт + KQlxx; (11.26)
у±(Д^ ± F^-Д^) ± XDJFa* = (11.27)
— (1/2)*R і (3/2)Fa?Fa?T Л ± (1/2) (Д2-Д^) = - kQabXAXb.
(11.28)
Эти формулы соответствуют (3.36), (3.37) и (3.38) — 4-мерным уравнениям Эйнштейна в монадном виде.
11.3. ФИЗИЧЕСКАЯ РЕАЛЬНОСТЬ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНАЯ ПО ПЯТОЙ КООРДИНАТЕ 5-МЕРНАЯ РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
Даже беглое сопоставление 5-мерных уравнений (11.26), (11.27) и геодезических (11.19) со стандартными уравнениями Эйнштейна (1.36 )и второй парой уравнений Максвелла (1.42) и (1.44) заставляет серьезно отнестись к 5-мерному обобщению ОТО. Основным препятствием для признания взаимного соответствия этих уравнений является отсутствие зависимости всех ве-
218:
(11.24) личин от пятой координаты в стандартных уравнениях Его можно преодолеть постулированием независимости геометрических величин от пятой координаты (условие цилиндричности теории по пятой координате). Это означает использование лишь таких 5-мерных римановых пространств, которые допускают существование пространственно-подобного поля вектора Киллинга, причем в используемой калибровке векторы Xа выбраны вдоль векторов Киллинга [см. 5-мерный аналог уравнений Киллинга (3.102), (3.103)].
При условии ЦИЛИНДРИЧНОСТИ ПО ПЯТОЙ координате Дцу = = 0 и остаются лишь два физико-геометрических тензора: Fliv = ==—Fviiy претендующий на роль тензора электромагнитного поля, и ф^ = (1/ф)<Зф/<Зл;*\ который можно считать напряженностью скалярного поля ф. В работах Калуцы [14, с. 529] и других авторов поле ср исключалось дополнительным условием G55 =— 1 *, но мы этого делать не будем. Операторы дифференцирования также упрощаются. 4-Связности совпадают с символами
